Der Logarithmus (2.3.)

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Den Logarithmus brauchen wir, um Gleichungen der Form $a^x=b$ nach x auflösen zu können.

Der Logarithmus ist der Exponent

Der Logarithmus ist eigentlich nur eine Bezeichnung für den Exponenten (Hochzahl) einer bestimmten Basis a, mit dem eine bestimmte Zahl b berechnet wird:

$$\color{red}{a}^{\color{green}{x}}=\color{blue}{b} $$ dann heißt $$\color{green}{x}=\log_{\color{red}{a}} \color{blue}{b}$$ $$\textrm{ausgesprochen: }"\color{green}{x}\ ist\ der\ Logarithmus\ zur\ \color{red}{Basis\ a}\ \color{blue}{von\ b} "$$

Beispiele

• $2^x=8 \ \rightarrow \ x=\log_2 8 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 2 von 8") und natürlich gilt $x=3$ da $2^3=8$.
• $5^x=25 \rightarrow \ x=\log_5 25 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 5 von 25") und natürlich gilt $x=2$ da $5^2=25$ ist.

Merke

Der Logarithmus zur Basis $a$ von der Zahl $b$ ist die Bezeichnung für den Exponenten. D.h. $$x=\log_a b \Leftrightarrow a^x=b$$

Rechengregeln des Logarithmus

Mithilfe der Rechenregeln für Potenzen kommt man auf die folgenden Regeln für den Logarithmus:

Regel	Formal	Begründung und Beispiel
1. "Hoch 1-Regel"	$$\log_a a=1$$	weil $a^1=a$. Z.B.: $$\ln e=1$$ oder $$\lg 10=1$$
2. "Hoch 0"-Regel	$$\log_a 1=0$$	weil $a^0=1$ für alle $a\neq 0$. Z.B.: $$\ln 1=0$$
3. Produktregel	$$\log_a (u\cdot v)=\log_a u+\log_a v$$	$a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$
4. Quotientenregel	$$\log_a \left(\frac{u}{v}\right)=\log_a u-\log_a v$$	$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$
5. Exponentenregel	$$\log_a u^r = r\cdot \log_a u$$	$\left(a^x\right)^r=a^{r\cdot x}$
6. "Negativ-Regel"	$$\log_a (u\pm v)=log_a (u\pm v)$$	Bei einer Summe oder Differenz kann man nichts verändern!
7. Umrechnung im Taschenrechner	$$\log_a u =\frac{\log_b u}{\log_b a}$$	Mit dieser Formel lassen sich Logarithmen mit beliebiger Basis im TR berechnen. Z.B.: $$\log_2 1024 = \frac{\ln 1024 }{\ln 2}=10$$

Musterbeispiele

Merke

Hinweis Bei den folgenden Beispielen ist es egal, mit welcher Basis gerechnet wird, da die obigen Regeln für alle Basen $a>0$ gelten. Bei den folgenden Umformen gehen wir "von außen nach innen", d.h. wir formen zuerst jede Rechenoperationen um, die sich auf den ganzen Term beziehen.

Forme durch Verwenden der Rechenregeln des Logarithmus auf:

$$\ln\left(a^3\cdot b\right)$$

$$\ln\left(a^3\cdot b\right)\underbrace{=}_{3.Regel} \ln(a^3)+ \ln(b)\underbrace{=}_{5.Regel} 3\cdot \ln(a)+\ln(b)$$

$$\lg\left(\frac{a^5\cdot \sqrt[3]{b} }{c^2} \right)$$

$\begin{align} \lg\left(\frac{a^5\cdot \sqrt[3]{b} }{c^2} \right)&\underbrace{=}_{4.}& \lg(a^5\cdot b^\frac{1}{3} )-\lg(c^2)\\ & \underbrace{=}_{3.}& \lg(a^5)+lg( b^\frac{1}{3} )-lg(c^2)\\ & \underbrace{=}_{5}& 5\cdot \lg(a)+\frac{1}{3}\cdot \lg(b)-2\cdot \lg(c) \end{align}$

$$\lg\sqrt[5]{\left(\frac{(a^2-b^2)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right)}$$

$\begin{align} \lg\sqrt[5]{\left(\frac{(a^2-b^2)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right) } &\underbrace{=}_{umformen}& \lg \left(\frac{(a-b)\cdot (a+b)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right)^{\frac{1}{5} }\\ &\underbrace{=}_{5.+kürzen}& \frac{1}{5}\lg \left(\frac{(a-b)\cdot c^3}{10^{-3} } \right)\\ &\underbrace{=}_{4.}& \frac{1}{5}\left[ \lg\left((a-b)\cdot c^3\right)-\lg(10^{-3})\right]\\ &\underbrace{=}_{3.}&\frac{1}{5}\left[ \lg(a-b)+ \lg c^3-\lg(10^{-3})\right]\\ &\underbrace{=}_{ 5.}&\frac{1}{5}\left[ \lg(a-b)+ 3\cdot\lg c-(-3)\cdot\lg(10)\right]\\ &\underbrace{=}_{\lg(10)=1} & \frac{1}{5}\lg(a-b)+\frac{3}{5}\cdot \lg(c)+\frac{3}{5} \end{align}$

Beispiele

kommt bald