Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven
Inhaltsverzeichnis
Wiederholung und Herleitung der Formel
| Das folgende Video bietet dir einen Überblick über das gelernte und erklärt dir die Formel für die Fläche zwischen 2 Kurven: |
| ab Minute 3:23 geht es um die Fläche zwischen 2 Kurven. |
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Formel zur Berechnung der Fläche zwischen 2 Graphen
Gegeben sei eine Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen $f$ und $g$, dann kann der Inhalt der eingeschlossenen Formel mit dieser Formel berechnet werden: $$\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx \textrm{ bzw. } \int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$ wobei der Graph von $f$ die obere und der Graph von $g$ die untere Begrenzungskurve sein muss! $$\int_{\color{blue}{linke\ Schnittstelle} }^{\color{blue}{rechte\ Schnittstelle} } \left(\color{green}{obere\ Funktion}-\color{red}{untere\ Funktion}\right)dx$$ |
$Aha!$ Das folgende Applet zeigt dir die Herleitung dieser Formel
Herleitung der Formel als Bilderreihe
Zuerst werden die Schnittpunkte bestimmt.
Als nächstes berechnet man die große Fläche mit $\int_a^b f(x) dx$ und ...
... zieht davon die kleine Fläche $\int_a^b g(x)dx$ ab.
Als Ergebnis erhält man die gesuchte blaue Fläche.
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# Rechne immer "obere Funktion" MINUS "untere Funktion". Ansonsten erhälst du ein negatives Ergebnis!
$$\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx$$ gilt immer! |
Exkurs: Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?
Schnittpunkt zweier Funktionen
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Schnittpunkte sind wichtig, weil sie uns zeigen, in welchem Bereich wir integrieren müssen. |
Beispiele
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Funktionen f und g umschlossen wird.
$f(x)=x^2$
$g(x)=4$
$$f(x)=g(x)$$ $$x^2=4$$ $$x=\pm 2$$ Somit haben wir einen Schnittpunkt bei $x=-2$ und einen bei $x=2$ (Hinweis: Die y-Koordinaten sind für die weitere Berechnung nicht erforderlich!).
2. Schritt: Flächen berechnen und voneinander abziehen:
Fläche unter $f(x)=A_{\cup}$
Fläche unter $g(x)=A_{ \Box }$
Dann ist die gesuchte Fläche $A$:
$$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$$
$A_{ \Box }=a*a=4*4=16$
Alternativ kann man hier auch das bestimmte Integral verwenden:
$$A_{ \Box }=\int_{-2}^2 g(x)dx=\int_{-2}^2 4dx=\left[ 4x\right]_{-2}^2=4\cdot 2-\left[ 4\cdot (-2)\right]=\underline{16}$$
$$A_{\cup}=\int_{-2}^2 f(x)dx=\int_{-2}^2 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2)^3}{3}=\frac{16}{3}=\underline{5.33}$$
Damit erhält man für $A$: $$A=A_{ \Box }-A_{\cup}=\int_{-2}^2 g(x)dx-\int_{-2}^2 f(x)dx$$ $$A=16-5,33=\underline{\underline{10,67} }$$ Wichtig: Da hier der Graph von $g$ oberhalb von $f$ liegt, muss man die Formel wie hier gezeigt anschreiben!
In den folgenden Beispielen wenden wir nun direkt die Formel an, ohne die Einzelheiten zu erklären:
Berechne den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionsgraphen mit $f(x)=-0.5 x² + 4x - 5$ und $g(x)=0.5x² - 4x + 7$ eingeschloßen wird. Fertige zuerst eine Skizze.
1. Schritt: Schnittpunkte $$f(x)=g(x)$$ $$-0.5 x² + 4x - 5=0.5x² - 4x + 7$$ $$0=x^2-8x+12$$ $$x_1=2\textrm{ und } x_2=6$$
2. Schritt: Anwenden der Formel $$\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$ $$\int_2^6 \left((-0.5 x² + 4x - 5)-(0.5x² - 4x + 7))\right)dx$$ $$\int_2^6 \left(-x^2+8x-12\right)dx=10.67$$
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt 10.67 FE.
S.30/1.034
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche.
$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{7}{3}$
$\Rightarrow \frac{x^4}{3*4}-\frac{x^3}{3}+\frac{7}{3x}$
$\Rightarrow F(x)= \frac{x^4}{12}-\frac{4x^3}{12}+\frac{28}{12x}$
$$\int_{-1}^{2} f (x)\,dx = F(2)-F(-1) =\frac{2^4}{12}-\frac{4*2^3}{12}+\frac{28}{12}*2-(-\frac{1^4}{12}-\frac{4*-1^3}{12}+\frac{28}{12}*-1)$$
$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}+\frac{4}{12}-\frac{7}{3}$
$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{7}{3}$
$=\frac{16}{12}-\frac{32}{12}+\frac{56}{12}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{28}{12}$
$=\frac{63}{12}$
$=5,25$
$A\Box=3*1=3$
$A\triangle= A\triangle\Box-A\Box$
$\Rightarrow 5,25-3= 2,25$
Lernvideo
Übungs- und Lernlinks
http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_05.htm
http://matheguru.com/30-flaeche-zwischen-funktionen.html
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil1pdf/FlaechezwischenGraphen.pdf
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Quiz
