Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

Wiederholung und Herleitung der Formel

Das folgende Video bietet dir einen Überblick über das gelernte und erklärt dir die Formel für die Fläche zwischen 2 Kurven:

ab Minute 3:23 geht es um die Fläche zwischen 2 Kurven.

Flächeninhalt zwischen zwei Kurven

Definition

Formel zur Berechnung der Fläche zwischen 2 Graphen Gegeben sei eine Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen $f$ und $g$, dann kann der Inhalt der eingeschlossenen Formel mit dieser Formel berechnet werden: $$\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx \textrm{ bzw. } \int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$ wobei der Graph von $f$ die obere und der Graph von $g$ die untere Begrenzungskurve sein muss! $$\int_{\color{blue}{linke\ Schnittstelle} }^{\color{blue}{rechte\ Schnittstelle} } \left(\color{green}{f(x)}-\color{red}{g(x)}\right)dx$$

$Aha!$ Das folgende Applet zeigt dir die Herleitung dieser Formel

Herleitung der Formel als Bilderreihe

• 

  Zuerst werden die Schnittpunkte bestimmt.

• 

  Als nächstes berechnet man die große Fläche mit $\int_a^b f(x) dx$ und ...

• 

  ... zieht davon die kleine Fläche $\int_a^b g(x)dx$ ab.

• 

  Als Ergebnis erhält man die gesuchte blaue Fläche.

Durch Verschieben beider Kurven entlang der y-Achse ändert sich der Flächeninhalt nicht. Somit gilt die Formel auch, wenn ein Teil der Fläche (oder alles) unter der x-Achse liegt.

Merke

# Rechne immer "obere Funktion" MINUS "untere Funktion". Ansonsten erhälst du ein negatives Ergebnis! Bei dieser Formel ist es egal ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse ist! $$\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx$$ gilt immer! $Aha!$ Dies kannst du im folgenden Applet überprüfen.

Exkurs: Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?

Schnittpunkt zweier Funktionen

Merke

Schnittpunkte sind wichtig, weil sie uns zeigen, in welchem Bereich wir integrieren müssen.

Beispiele

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Funktionen f und g umschlossen wird.
$f(x)=x^2$
$g(x)=4$

1. Schritt: Zuerst berechnen wir die Schnittpunkte:

$$f(x)=g(x)$$ $$x^2=4$$ $$x=\pm 2$$ Somit haben wir einen Schnittpunkt bei $x=-2$ und einen bei $x=2$ (Hinweis: Die y-Koordinaten sind für die weitere Berechnung nicht erforderlich!).

2. Schritt: Flächen berechnen und voneinander abziehen:

Indem man von der großen Fläche die kleine abzieht, erhält man die gesuchte Fläche.

Fläche unter $f(x)=A_{\cup}$
Fläche unter $g(x)=A_{ \Box }$
Dann ist die gesuchte Fläche $A$: $$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$$

$A_{ \Box }=a*a=4*4=16$
Alternativ kann man hier auch das bestimmte Integral verwenden: $$A_{ \Box }=\int_{-2}^2 g(x)dx=\int_{-2}^2 4dx=\left[ 4x\right]_{-2}^2=4\cdot 2-\left[ 4\cdot (-2)\right]=\underline{16}$$

$$A_{\cup}=\int_{-2}^2 f(x)dx=\int_{-2}^2 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2)^3}{3}=\frac{16}{3}=\underline{5.33}$$

Damit erhält man für $A$: $$A=A_{ \Box }-A_{\cup}=\int_{-2}^2 g(x)dx-\int_{-2}^2 f(x)dx$$ $$A=16-5,33=\underline{\underline{10,67} }$$ Wichtig: Da hier der Graph von $g$ oberhalb von $f$ liegt, muss man die Formel wie hier gezeigt anschreiben!

In den folgenden Beispielen wenden wir nun direkt die Formel an, ohne die Einzelheiten zu erklären:

Berechne den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionsgraphen mit $f(x)=-0.5 x² + 4x - 5$ und $g(x)=0.5x² - 4x + 7$ eingeschloßen wird. Fertige zuerst eine Skizze.

1. Schritt: Schnittpunkte $$f(x)=g(x)$$ $$-0.5 x² + 4x - 5=0.5x² - 4x + 7$$ $$0=x^2-8x+12$$ $$x_1=2\textrm{ und } x_2=6$$

2. Schritt: Anwenden der Formel $$\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$ $$\int_2^6 \left((-0.5 x² + 4x - 5)-(0.5x² - 4x + 7))\right)dx$$ $$\int_2^6 \left(-x^2+8x-12\right)dx=10.67$$

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt 10.67 FE.

S.30/1.034

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche. $f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{7}{3}$

$\Rightarrow \frac{x^4}{3*4}-\frac{x^3}{3}+\frac{7}{3x}$

$\Rightarrow F(x)= \frac{x^4}{12}-\frac{4x^3}{12}+\frac{28}{12x}$

$$\int_{-1}^{2} f (x)\,dx = F(2)-F(-1) =\frac{2^4}{12}-\frac{4*2^3}{12}+\frac{28}{12}*2-(-\frac{1^4}{12}-\frac{4*-1^3}{12}+\frac{28}{12}*-1)$$

$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}+\frac{4}{12}-\frac{7}{3}$

$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{7}{3}$

$=\frac{16}{12}-\frac{32}{12}+\frac{56}{12}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{28}{12}$

$=\frac{63}{12}$

$=5,25$

$A\Box=3*1=3$

$A\triangle= A\triangle\Box-A\Box$

$\Rightarrow 5,25-3= 2,25$

Übungs- und Lernlinks

http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_05.htm
http://matheguru.com/30-flaeche-zwischen-funktionen.html
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil1pdf/FlaechezwischenGraphen.pdf
Seite 1, 2, 3

Quiz

Frage 1:

Lösung: Antwort 1

Frage 2:

Lösung: Antwort 1

Frage 3:

Lösung: Antwort 1