Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

Wiederholung und Herleitung der Formel

Das folgende Video bietet dir einen Überblick über das gelernte und erklärt dir die Formel für die Fläche zwischen 2 Kurven:

ab Minute 3:23 geht es um die Fläche zwischen 2 Kurven.

Flächeninhalt zwischen zwei Kurven

Definition

Formel zur Berechnung der Fläche zwischen 2 Graphen Gegeben sei eine Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen $f$ und $g$, dann gilt: $$Flächeninhalt\ zwischen\ f\ und\ g=\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx=\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$ wobei der Graph von $f$ die obere und der Graph von $g$ die untere Begrenzungskurve sein muss!

$Aha!$ Das folgende Applet zeigt dir die Herleitung dieser Formel

Herleitung der Formel als Bilderreihe

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  Zuerst werden die Schnittpunkte bestimmt.

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  Als nächstes berechnet man die große Fläche mit $\int_a^b f(x) dx$ und ...

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  ... zieht davon die kleine Fläche $\int_a^b g(x)dx$ ab.

• 

  Als Ergebnis erhält man die gesuchte blaue Fläche.

Durch Verschieben beider Kurven entlang der y-Achse ändert sich der Flächeninhalt nicht. Somit gilt die Formel auch, wenn ein Teil der Fläche (oder alles) unter der x-Achse liegt.

Merke

Bei dieser Formel ist es egal ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse ist! $Aha!$ Dies kannst du im folgenden Applet überprüfen.

Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?

Schnittpunkt zweier Funktionen

Merke

Schnittpunkte sind wichtig, weil sie uns zeigen, in welchem Bereich wir integrieren müssen.

Beispiele aus dem Buch Mathematik 4 (Trauner Verlag)

S.30/1.031c

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionen f und g umschlossen wird.
$f(x)=x^2$
$g(x)=4$

$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$

Fläche unter $f(x)=A_{\cup}$
Fläche unter $g(x)=A_{ \Box }$

$A_{ \Box }=a*a$
$A_{ \Box }=4*4$
$A_{ \Box }=16$

f(x) und umformen

$f(x)=x^2$
$f(x)=\frac{x^3}{3}$

$A_{ \Box }=\int_{a}^{b} f (x)\,=F_(b)-F_(a) $
$=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2^3)}{3}=5,33$

$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$
$A=16-5,33=10,67$

S.30/1.032a

Der Inhalt der Fläche ist zu berechnen, die von den Kurven mit den angegebenen Gleichungen begrenzt wird. Skizzieren Sie die Fläche.

$x^2=6y \rightarrow y=\frac{x^2}{6}$

$x^2+36=12y \rightarrow y_1=\frac{x^2+36}{12}$

Schnittpunkt wurde mit GeoGebra berechnet: SP_A:(-6/6) SP_B:(6/6)

$y=\frac{x^2}{6} = f(x)=\frac{x^2}{6}\Rightarrow F(x)=\frac{x^3}{6*3}$

$y_1=\frac{x^2+36}{12} = g(x)=\frac{x^2+36}{12}\Rightarrow G(x)=\frac{x^3}{36}+\frac{36}{12}x$

Berechnung der Fläche a (rot gestrichelt): $\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=F(6)-F(-6)=\frac{6^3}{6*3}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6)}{12})=24 $

Berechnung der Fläche b (braun): $\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=G(6)-G(-6)=\frac{6^3}{36}+\frac{}{12}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6}{12})=48$

Fläche e (blau)= Fläche b (braun)- Fläche a (rot gestrichelt)

Fläche e (blau)= 48 - 24= 24

Übungs- und Lernlinks

http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_05.htm
http://matheguru.com/30-flaeche-zwischen-funktionen.html
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil1pdf/FlaechezwischenGraphen.pdf
Seite 1, 2, 3

Quiz

Frage 1:

Lösung: Antwort 1

Frage 2:

Lösung: Antwort 1

Frage 3:

Lösung: Antwort 1