Inhalt:Integration:Das unbestimmte Integral - Berechnung der Stammfunktion
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Die Stammfunktion
Für fast jede uns bekannte Rechenoperatione existiert auch eine Umkehroperation (siehe Äquivalenzumformungen). Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion.
Die passende Umkehroperation zum Differenzieren (Ableitungen bestimmen) ist die Integration.
Wir haben bereits gelernt, dass wir zu einer Funktion f die Ableitungsfunktion f´ bestimmen können mithilfe der Ableitungsregeln.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff Stammfunktion.
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Stammfunktion
Die Funktion $F$ heißt Stammfunktion der Funktion $f$, wenn gilt: $$F'(x)=f(x)$$ Eine andere Schreibweise, die wir erst später rechtfertigen, ist: $$F(x)=\int f(x)\cdot dx$$ |
Integrationsregeln
| Regel | Bemerkung | |
|---|---|---|
| Potenzregel | $$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$ | Exponent um 1 erhöhen und mit dem neuen Exponenten dividieren.
Die Potenzregel gilt für alle Potenzen mit $n\neq -1$ |
| Summenregel | $$\int [f(x)± g(x)]\,dx=\int f (x)\,dx±\int g (x)\,dx$$ | Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden einzlen integriert. |
| Faktorregel | $$\int c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int f (x)\,dx$$ | Einen konstanten Faktor kann man herausheben. Dies gilt auch für Brüche! |
| Regel für $\frac{1}{x}$ | $$\int \frac{1}{x}\,dx=|In|x|]]+c$$ | Wobei $ln(x)UNIQ5e7681a728f42614-MathJax-9-QINU\int sin(x)\cdot dx=-cos(x)+cUNIQ5e7681a728f42614-MathJax-10-QINU\int cos(x)\cdot dx=sin(x)$$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück. In [http://geogebratube.org/student/m43313 diesem Arbeitsblatt] findest du eine Begründung dafür.]]
|}
=== Beispiele ===
Bestimmen Sie die Stammfunktionen:
[[Datei:Bsp.png|left]]
$y=2,5$
$\int 2.5\cdot dx=2,5x+c$
$y=-x+0,5$
$\int(-x+0.5)\cdot dx=0,5x^2+0,5x+c$
$y=x^2$
$\int x^2\cdot dx=\frac{x^3}{3}+c$
$y=9x^2-8x+1$
$\int (9x^2-8x+1)\cdot dx=3x^3-4x^2+x+c$
$y=2x+3$
$\int (2x+3)\cdot dx=x^2+3x+c$
$y=\frac{1}{x}$
$\int \frac{1}{x}\cdot dx=In\vert x\vert +c$
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