Inhalt:Integration:Das unbestimmte Integral - Berechnung der Stammfunktion

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Die Stammfunktion

Für fast jede uns bekannte Rechenoperatione existiert auch eine Umkehroperation (siehe Äquivalenzumformungen). Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion.

Die passende Umkehroperation zum Differenzieren (Ableitungen bestimmen) ist die Integration.

Wir haben bereits gelernt, dass wir zu einer Funktion f die Ableitungsfunktion f´ bestimmen können mithilfe der Ableitungsregeln. Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff Stammfunktion.

Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1

Definition

Stammfunktion Die Funktion $F$ heißt Stammfunktion der Funktion $f$, wenn gilt: $$F'(x)=f(x)$$ Eine andere Schreibweise, die wir erst später rechtfertigen, ist: $$F(x)=\int f(x)\cdot dx$$

Integrationsregeln

• Potenzregel

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer $n=-1$.

• Summenregel

$$\int [f(x)± g(x)]\,dx=\int f (x)\,dx±\int g (x)\,dx$$

Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

• Faktorregel

$$\int c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int f (x)\,dx$$

Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

• Regel für $\frac{1}{x}$

$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$

Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

Beispiele

Bestimmen Sie die Stammfunktionen:

$y=2,5$

$\int 2.5\cdot dx=2,5x+c$

$y=-x+0,5$

$\int(-x+0.5)\cdot dx=0,5x^2+0,5x+c$

$y=x^2$

$\int x^2\cdot dx=\frac{x^3}{3}+c$

$y=9x^2-8x+1$

$\int (9x^2-8x+1)\cdot dx=3x^3-4x^2+x+c$

$y=2x+3$

$\int (2x+3)\cdot dx=x^2+3x+c$

$y=\frac{1}{x}$

$\int \frac{1}{x}\cdot dx=In\vert x\vert +c$

Zusatzmaterial

Quiz

Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral

Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln

Lernvideos

Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2

Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3