Inhalt:Integration:Das unbestimmte Integral - Berechnung der Stammfunktion

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Hier lernst du, wie du die Stammfunktion mithilfe des unbestimmten Integrales berechnest.

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden. Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff Stammfunktion.

Definition

Stammfunktion Die Funktion $F$ heißt Stammfunktion der Funktion $f$, wenn gilt: $$F'(x)=f(x)$$ Eine andere Schreibweise, die wir erst später rechtfertigen ist: $$F(x)=\int f(x)\cdot dx$$

Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1

Integrationsregeln

• Potenzregel

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer $n=-1$.

• Summenregel

$$\int [f(x)± g(x)]\,dx=\int f (x)\,dx±\int g (x)\,dx$$

Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

• Faktorregel

$$\int c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int f (x)\,dx$$

Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

• Regel für $\frac{1}{x}$

$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$

Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

Beispiele

Bestimmen Sie die Stammfunktionen:

$y=2,5$

$\int 2.5\cdot dx=2,5x+c$

$y=-x+0,5$

$\int(-x+0.5)\cdot dx=0,5x^2+0,5x+c$

$y=x^2$

$\int x^2\cdot dx=\frac{x^3}{3}+c$

$y=9x^2-8x+1$

$\int (9x^2-8x+1)\cdot dx=3x^3-4x^2+x+c$

$y=2x+3$

$\int (2x+3)\cdot dx=x^2+3x+c$

$y=\frac{1}{x}$

$\int \frac{1}{x}\cdot dx=In\vert x\vert +c$

Zusatzmaterial

Quiz

Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral

Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln

Lernvideos

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