Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen

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Grundbegriffe: Dichtefunktion, Verteilungsfunktion, Erwartungswert, Standardabweichung

Anstelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion P für diskrete Zufallsvariablen, definiert man für stetige Zufallsvariablen die Dichtefunktion f.

Definition

Die Dichtefunktion $f$ ist eine Funktion mit den Eigenschaften: $f(x)\geq 0 $ und $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot dx=1$ (d.h. die Fläche unterhalb der Dichtefunktion ist 1).

Der Grund, warum man nicht die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P$ verwendet, liegt darin, dass stetige Zufallsvariablen unendlich viele (und überabzählbar viele) Werte haben und die Wahrscheinlichkeit, dass ein ganz bestimmter Wert gezogen wird gleich 0 ist.

Mit Hilfe der Dichtefunktion definieren wir nun (ähnlich wie bei den diskreten Zufallsvariablen) die ...

Definition

Verteilungsfunktion F : $$F(x)=P(X\leq x)= \int_{-\infty}^{x} f(t)\cdot dt$$, die die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert $\leq x$ annimmt, angibt.

Wichtig: Die Funktionswerte der Dichtefunktion $f(x)$ geben NICHT die Wahrscheinlichkeit an. Bei stetigen Zufallsvariablen können wir nur die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass $X$ Werte in einem bestimmten Intervall annimmt.

Merke

Die Wahrscheinlichkeit, dass die stetige ZV $X$ einen Wert im Intervall [a;b] annimmt, entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion zwischen den Grenzen a und b: $$P(a\leq X\leq b)= \int_{a}^{b} f(x)\cdot dx = F(b)-F(a)$$

Hinweis:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen bestimmten Wert $a$ annimmt ist 0 da

$P(a\leq X\leq a)= \int_{a}^{a} f(x)\cdot dx = F(a)-F(a)=0$ ist. (Dies lässt sich auch so argumentieren: Da $X$ unendlich viele Werte annehmen kann.

• $P(X\leq a)=P(X<a)$ da $ P(X\leq a)=P(X<a)+P(X=a)$ und da $P(X=a)$ ist, gilt die Behauptung.

Definition

Für stetige ZV sind Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung wie folgt definiert: $E(x)=\mu=\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f(x)\cdot dx$ $\sigma =\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2 f(x)\cdot dx} |} Bsp mit einer Funktion Eine der wichtigsten stetigen Verteilungsfunktionen ist die == Normalverteilung == {| border ="1" cellpadding="10" | {| | '''Definition''' |- | [[Datei:Grün rufezeichen.png|center]] |} |Eine stetige Zufallsvariable ist '''normalverteilt mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ (kurz: $N(\mu ;\sigma)$-verteilt)''', wenn für die Dichtefunktion $f$ gilt: UNIQ819ea860f8fb9cf0-MathJax-5-QINU |} Die Dichtefunktion der Normalverteilung wird aufgrund ihrer Form „Gaußschen Glockenkurve“ genannt. '''Eigenschaften des Graphen derDichtefunktion :''' * Die Glockenkurve ist symmetrisch zum Erwartungswert $\mu$, bei dem Sie auch ihren Hochpunkt hat. * Die beiden Wendepunkte der Glockenkurve befinden sich bei $\mu -\sigma$ und $\mu +\sigma$ * Im Intervall $[$\mu -\sigma ; \mu -\sigma]$ befinden sich ca. 68 % aller Werte. Sie hat als Assymptote die x-Achse und es gilt $\lim_{x\rightarrow \pm \infty} =0$ Sie erfüllt alle wichtigen Eigensachften einer Dichtefunktion: $f(x)\geq 0 $ und $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot dx=1$ (d.h. die Fläche unterhalb der Dichtefunktion ist 1). Die Normalverteilung ist deshalb so wichtig, da es in der Natur und im Alltag sehr viele Zuvallsvariablen gibt, die eine solche Verteilung aufweisen und somit eine Dichtefunktion besitzen, deren Graph glockenförmig ist.