Gleichungssysteme (2.7.)
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Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Variablen.
Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen: $$ I: x+y=35 $$ $$ II: 2x+4y=94 $$ |
Inhaltsverzeichnis
Beispiel: $$ I: x+y=35 $$ $$ II: 2x+4y=94 $$ Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 linear unabhängige Gleichungen.
Lösungsmenge $\mathbb{L}$
Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
Zeige, dass der Punkt $(23\vert 12)$ das folgende Gleichungssystem löst: $ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$
Somit ist $(23\vert 12)$ eine Lösung des Gleichungssystems
Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:
Additionsverfahren (Eliminationsverfahren)
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Methode des Additionsverfahrens
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Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
$ \begin{align} x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$
2. Schritt: Multipliziere eine der beiden Gleichung:
$ \begin{align} x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$
3. Schritt: Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:
$ \begin{align} -2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\ 4x&+&2y&=&94& \\ \end{align}$
4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:
$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$
$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$
Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten: $$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$ Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ $= \{ (12\vert 23) \} $
| Wichtig | Das Additionsverfahren eignet sich nur für lineare Gleichunggsysteme. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so funktioniert das Additionsverfahren nicht.
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Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren)
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Methode des Einsetzungsverfahrens
1. Stelle in einer der Gleichungen eine der Variablen frei (siehe Gleichungen umformen) 2. Setze nun das Ergebnis aus der Umformung in die andere Gleichung ein. Du erhälst eine Gleichung mit einer Variable. 3. Löse nun diese Gleichung und setzte die Lösung anschließend in die andere Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu erhalten. |
Bestimme mithilfe des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
$ \begin{align} I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x \\ I:\ \ &x &=&35-y \end{align}$
2. Schritt: Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:
$ \begin{align} II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{ }\ \ \ \ \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\ II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94& \end{align}$
3. Schritt: Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)
$ \begin{align}
II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\
II:\ 140-4y+2y&=94 & \\
140-2y&=94&\ \vert -140\\
-2y&=-46&\ \vert 
-2)\\
y&=23
\end{align}$
Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten:
$$ x=35-y \Rightarrow x=35-23 \rightarrow x=12$$
Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ $= \{ (12\vert 23) \} $
Graphisches Verfahren
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Methode:
1. Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen. 2. Einzeichnen der Geraden aus I. und II. in dasselbe Koordinatensystem (siehe Lineare Funktionen y=kx+d 3. Ermitteln des Schnittpunktes $\rightarrow$ dieser gibt die Lösungsmenge des Gleichungssystems an. |
Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
$\begin{align} I: x+y=35 &\vert -x &\rightarrow & & \rightarrow &\underline{I:y=-x+35} \\ \\ II:4x+2y=94 &\vert -4x &\rightarrow &2y=-4x+94 \ \ \vert :2 & \rightarrow &\underline{II:y=-2x+47} \end{align}$
2. Schritt: Einzeichnen der Geraden $y=kx+d$ (siehe Geraden zeichnen)
3. Schritt: Ermitteln des Schnittpunktes.
Wie man aus der obigen Graphik erkennt, hat der Schnittpunkt die Koordinaten $S(12\vert 23)$. Somit lautet die Lösungsmenge $\mathbb{L}$$={(12\vert 23)}$.
Achtung! Oft ist es schwer, den Schnittpunkt durch eine händische Zeichnung exakt zu ermitteln. Hier ist es dann oft sinnvoll Technologie einzusetzen. Entweder
- GeoGebra oder
- den Intersect-Befehl des TI
Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82)
Verfahren mit GeoGebra-CAS
Musterbeispiel: Das folgende lineare Gleichungssystem zeigt ein Gleichungssystem mit 3 Variablen (x, y und z) und 3 Gleichungen:
$\begin{align} I: &2x&+&y&-&3z&=&-4\\ II: &x&-&3y&-&z&=&-8\\ III: &-3x&+&y&+&z&=&\ \ 2 \end{align}$
Es gilt: Um ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus n linear unabhängige Gleichungen bestehen.
