Gleichungssysteme (2.7.)

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Definition

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Variablen. Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen: $$ I: x+y=35 $$ $$ II: 2x+4y=94 $$

• Gleichungssysteme mit 2 Variablen
• Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen

Beispiel: $$ I: x+y=35 $$ $$ II: 2x+4y=94 $$ Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 linear unabhängige Gleichungen.

Lösungsmenge $\mathbb{L}$

Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.

Zeige, dass der Punkt $(23\vert 12)$ das folgende Gleichungssystem löst:

$$ I: x+y=35 $$ $$ II: 2x+4y=94 $$

Begründung: Setze den Punkt $(23\vert 12)$ in die beiden Gleichungen ein, wobei $x=23$ und $y=12$ ist:

$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Somit ist $(23\vert 12)$ eine Lösung des Gleichungssystems

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

Additionsverfahren (Eliminationsverfahren)

Merke

Methode des Additionsverfahrens Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts). Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen Koeffizienten vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind. Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen! Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten. Löse die Gleichung mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.

Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems: $ \begin{align} I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\ II:\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$

1. Schritt:Umformen auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align} x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$

2. Schritt: Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align} x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$

3. Schritt: Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align} -2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\ 4x&+&2y&=&94& \\ \end{align}$

4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$

$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten: $$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$ Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ $= \{ (12\vert 23) \} $

Wichtig

Das Additionsverfahren eignet sich nur für lineare Gleichunggsysteme. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so funktioniert das Additionsverfahren nicht. Um nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen, verwendet man das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder das graphische Verfahren:

Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren)

Merke

Methode des Einsetzungsverfahrens 1. Stelle in einer der Gleichungen eine der Variablen frei (siehe Gleichungen umformen) 2. Setze nun das Ergebnis aus der Umformung in die andere Gleichung ein. Du erhälst eine Gleichung mit einer Variable. 3. Löse nun diese Gleichung und setzte die Lösung anschließend in die andere Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu erhalten.

Bestimme mithilfe des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems: $ \begin{align} I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\ II:\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$

1. Schritt:Umformen der Gleichung I $\rightarrow$ x freistellen:

$ \begin{align} I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x \\ I:\ \ &x &=&35-y \end{align}$

2. Schritt: Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:

$ \begin{align} II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{ }\ \ \ \ \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\ II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94& \end{align}$

3. Schritt: Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)

$ \begin{align} II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\ II:\ 140-4y+2y&=94 & \\ 140-2y&=94&\ \vert -140\\ -2y&=-46&\ \vert -2)\\ y&=23 \end{align}$

Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten: $$ x=35-y \Rightarrow x=35-23 \rightarrow x=12$$ Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ $= \{ (12\vert 23) \} $

Graphisches Verfahren

Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82)

Verfahren mit GeoGebra-CAS

Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.