Vektorrechnung
Koordinatensystem
Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme ganz essentiell. Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:
- die x-Achse (waagrecht) und
- die y-Achse (senkrecht)
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sog. Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Wo ein jeweiliger Quadrant liegt, kannst du mit Hilfe des Bildes rechts erkennen. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung; seine Koordinaten sind (0/0).
Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt: An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.
Im dreidimensionalen Raum kommt dann einfach noch eine dritte - die z- - Koordinate dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten.
Punkte
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild zB. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).
|
Einen allgemeinen Punkt schreibt man an als P(x/y) ($\mathbb{R^2}$) bzw. P(x/y/z) ($\mathbb{R^3}$).
Die erste Koordinate entspricht also der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate. Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet. |
Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:
- A(2/0)
- B(0/-2)
- C(-1/2)
Vektoren
Vektoren kann man sich wie Pfeile vorstellen. Sie besitzen eine Länge (Betrag) und eine Richtung. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Stellung im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:
|
Einen allgemeinen Vektor schreibt man an als $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^2}$) bzw. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^3}$).
Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet. |
Im Beispiel rechts wollen wir den Vektor berchnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Aber zuerst müssen wir uns mal ansehen, wie man Punkte und Vektoren denn überhaupt voneinander subtrahiert:
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: "Spitze minus Schaft"
|
Wenn du Punkte addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: $\left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) +/- \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1+/-x_2 \\ y_1+/-y_2 \end{array} \right)$ Die Punkte schreibt man dazu der Einfachheit halber wie Vektoren an (beachte, dass wir als Ergebnis auch einen Vektor erhalten!). Analog können wir also auch mit Vektoren rechnen. |
Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $B-A = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$
|
Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile!
Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle! $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$ im Bild rechts unten sind derselbe Vektor! |
Mit Hilfe von Vektoren lassen sich also Bewegen darstellen. Ein einfaches Beispiel wäre, einen Punkt zu verschieben.
