Mengenlehre
Inhaltsverzeichnis
Was ist eine Menge
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Eine Menge $A$ ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Elementen. Die Elemente können dabei Zahlen, Objekte, Personen usw. sein.
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In einer Spielgruppe können die Kinder in der Menge $A$ angegeben werden:
$$A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$$
Geben Sie die Mächtigkeit der Menge an.
| Übung zur Definition einer Menge |
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| Quelle: Michael Ruhrländer |
Darstellung von Mengen
Mengen-/Venn-Diagramme
Um eine Menge grafisch zu veranschaulichen, verwenden wir Mengendiagramme. Diese werden auch Venn-Diagramme genannt, da die Verwendung solcher Diagramme vom britischen Mathematiker John Venn eingeführt wurde.
Gegeben ist die Menge $A$ mit
$$A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$$
Stellen Sie die Menge in einem Mengendiagramm grafisch dar.
Darstellung im aufzählenden Verfahren
Beim aufzählenden Verfahren werden die Elemente einer Menge innerhalb von so genannten Mengenklammern, $\{$ und $\}$, aufgezählt.
z.B.: $A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$
Darstellung im beschreibenden Verfahren
Beim beschreibenden Verfahren werden die gemeinsame Eigenschaft der Elemente beschrieben.
| aufzählendes Verfahren | Mengendiagrammm | beschreibendes Verfahren |
|---|---|---|
| M={Frühling, Sommer, Herbst, Winter} | M ist die Menge der Jahreszeiten eines Jahres. | |
| B={1,2,3,4,5} | $$B=\{x\in \mathbb{N}\vert 1\leq x\leq 5\}$$
$$\textrm{"B ist die Menge aller natürlichen Zahlen, für die gilt,}\\ \textrm{dass x größer gleich 1 und kleiner gleich 5 ist"}$$ |
Inhaltsverzeichnis
Mengenoperationen
Teilmenge und leere Menge
Teilmengen sind Mengen, die aus einem Teil aller Elemente einer anderen Menge bestehen. Formal definiert gilt:
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Eine Menge B ist eine Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist. Formal: $B \subseteq A$
Graphik von Franz |
Gegeben ist Menge $A$ einer Spielgruppe mit $A=\{Anna, Peter, Sandra, Lukas, Julia, Andreas\}$.
Gib die Teilmenge $B$ von $A$ an, die alle weiblichen Kinder beinhaltet.
| Übung zur Definition einer Menge |
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| Quelle: Michael Ruhrländer |
Eine Teilmenge jeder Menge ist die sogenannte leere Menge $\varnothing$:
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Leere Menge $\varnothing$
Die leere Menge $\varnothing$ beinhaltet kein Element, sie ist leer. Es gilt:
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Beispiele
Durchschnitt von Mengen - "und"-Operation
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Der Durchschnitt zweier Mengen $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die sowohl in $A$ auch in $B$ einthalten sind |
In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$
- Bestimme die Durschnittsmenge (="Schnittmenge") von $S$ und $M$.
- Interpretiere die Durschnittsmenge.
Die Schnittmenge beinhaltet alle Elemente, die in beiden Elmenten vorhanden sind. Somit gilt: $$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$$
Interpretiere die Durschnittsmenge.
$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$ bedeutet, dass nur Julia und Peter in beiden Vereinen Mitglieder sind.
| Übung zur Definition einer Menge |
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| Quelle: Michael Ruhrländer |
Vereinigung von Mengen - "oder"-Operation
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Die Vereinigung zweier Mengen $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die
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In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$
- Bestimme die Vereinigungsmenge von $S$ und $M$.
- Interpretiere die Vereinigungsmenge.
Die Vereinigungsmenge beinhaltet alle Elemente der beiden Mengen. Somit gilt: $$S\cup M=\{Andreas,\ Anna,\ Anton,\ Julia,\ Leo,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra,\ Sebastian,\ Simon\}$$
Interpretiere die Vereinigungsmenge.
In $S\cup M$ sind alle Personen, die im Schwimmverein oder im Musikverein oder in beiden Vereinen sind.
| Übung zur Definition einer Menge |
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| Quelle: Michael Ruhrländer |
Differenzen von Mengen - "ohne"-Operation
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Die Differenzmenge $A\setminus B$ (sprich: „A ohne B“) zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente aus A, die nicht zu B gehören. |
In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$
- Bestimme die Menge $S\setminus M$.
- Interpretiere $S\setminus M$.
Die Menge $S\setminus M$ beinhaltet alle Elemente von $S$, die nicht in $M$ enthalten sind. Somit gilt: $$S\setminus M=\{ Andreas,\ Anna,\ Lukas,\ Sandra\}$$
[[Datei:bsp-differenz.png|thumb|center|300px|In der Differenzenmenge $S\setminus M$ sind alle Elemente aus $S, die nicht in M sind.]] '''Interpretiere die Menge.''' In $S\setminus M$ sind alle Personen, die nur im Schwimmverein und im Musikverein sind.
In einem Ort gibt einen Musikverein. Die Mitglieder des Musikvereins sind in der Menge M angegeben.
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Die Menge $B$ ist eine Teilmenge von $M$ und beinhaltet alle Mitglieder des Vereins, die ein Blasinstrument spielen. Es gilt
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* Bestimme $\bar{B}$, die Komplementärmenge zu $B$.
* Interpretiere $\bar{B}$.
"B ist Teilmenge von A" ||
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| $\cap$ || Schnittmenge $A\cap B$"sowohl in A als auch in B" ||
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| $\cup$ || Vereinigungsmenge $A\cup B$"in A oder in B oder in beiden" ||
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| $\setminus$ || Differenzenmenge $A\setminus B$"A ohne B" ||
|-
| $\bar{A}$ || Komplementärmenge"alles außer A" ||
|}
| Dieses Applet gibt dir noch einmal einen graphischen Überblick der Mengenoperationen |
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| Quelle: [Weindl] |
Test
| Übung zur Definition einer Menge |
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| Quelle: Michael Ruhrländer |
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