Inhalt:Differenzieren:Graphisches Bestimmen von f'

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Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch Betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

Aufgaben zu diesem Applet

Betrachte die linke Graphik: Der Wert k zeigt die Steigung der Tangente im Punkt P an.

1. Verschieben Sie den Punkt P. Auf der rechten Graphik wird laufend die Steigung k beim jeweiligen x-Wert von P abgetragen. Verschieben Sie P solange, bis in der rechten Graphik ein schöner Funktionsgraph zu sehen ist. Dieser Graph ist der Graph von $f'(x)$ (=1. Ableitung von x)

2. Geben Sie eine andere Funktion im Eingabefeld ein. Versuchen Sie den Graphen von $f'(x)$ zuerst zu erraten und zeichnen Sie ihn erst dann durch verschieben des Punktes P.

Funktionen zum Eintippen: a) $f(x)=1.5x^3-4x^2$ b) $f(x)=0.05x^4-0.225x^3-0.325x^2+0.9x+0.5$ c) $f(x)=3x$

$Aha!$ Dieses GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert..

Merke

$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten:

$f(x)$	$f'(x)$
1. $f(x)$ hat bei $a$ eine Extremstelle	$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
2. $f(x)$ hat bei $b$ einen Wendepunkt	$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
3. $f(x)$ ist monoton wachsend	$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
4. $f(x)$ ist monoton fallend	$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!

Graph von f(x)

1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$) ein.	2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.
3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.	$f'(x)$ schön eingezeichnet