Quadratische Gleichungen
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Quadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form $0=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ mit $a,\ b,\ c\in \mathbb{R}$, wobei $a\neq 0$ ist. |
Beispiele:
- $0=4x^2-3x+10$ (hier ist $a=4,\ b=-3$ und $c=10$)
- $0=x^2-1$ (hier ist $a=1,\ b=0$ und $c=-1$
Inhaltsverzeichnis
Lösung der allgemeinen Form - die große Lösungsformel
Eine quadratische Gleichung kann in der Regel nicht durch einfaches umformen gelöst werden (außer es handelt sich um einen Sonderfall (siehe unten)).
Stattdessen verwendet man hier die große Lösungsformel:
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Die große Lösungsformel
Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form $0=a\cdot x^2+b\cdot x+c$. Dann lassen sich die beiden Lösungen mit der folgenden Formel berechnen: $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c} }{2\cdot a}$ wobei $x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c} }{2\cdot a}$ die erste Lösung und $x_2=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c} }{2\cdot a}$ die zweite Lösung der Gleichung ist. |
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Eine quadratische Gleichung hat maximal 2 Lösungen (siehe unten: Lösungsmöglichkeiten) |
Hinweis:
- Der Solve-Befehl eignet sich im Allgemeinen NICHT für quadratische Gleichungen, da der Solve-Befehl nur eine Lösung anzeigt.
- Mit GeoGebra kann der Löse-Befehl verwendet werden.
Lösung von Gleichungen der Form $x^2+b \cdot x +c=0$
Diese Gleichungen unterscheiden sich von der allgemeinen Form dadurch, dass stets $a=1$ ist. Jede quadratische Gleichung kann auf diese Form gebracht werden, indem man durch den Koeffizienten a dividiert! Der Vorteil beim Lösen einer solchen Gleichung ist, dass die Lösungsformel deutlich einfacher (und somit leichter zu merken!) ist. Man nennt diese Formel kleine Lösungsformel. Aus historischen (und musikalischen) Gründen werden statt der Variablen b und c die Variablen p und q verwendet.
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Die kleine Lösungsformel
Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form $0=x^2+p\cdot x+q$. Dann lassen sich die beiden Lösungen mit der folgenden Formel berechnen: $x_{1,2}= - \frac{p}{2} \ \pm \ \sqrt{ {\left(\frac{p}{2} \right)}^2 -q }$ wobei $x_1= - \frac{p}{2} \ + \ \sqrt{ {\left(\frac{p}{2} \right)}^2 -q } \ $ die erste Lösung und $x_2= - \frac{-p}{2} \ - \ \sqrt{ {\left(\frac{p}{2} \right)}^2 -q } \ $ die zweite Lösung der Gleichung ist. |
Sonderfall: $0=a\cdot x^2+b\cdot x$
In diesem Fall kann die erste Lösung sofort abgelesen werden: $x_1=0$ ist eine Lösung, da $a \cdot 0^2+b \cdot 0=0$ unabhängig von a und b.Die fehlende Lösung erhält man durch elementare Umformungen:
\begin{align} 0 &=a \cdot x^2+b \cdot x \ \ \ \ \text{Division durch x für} \ x \neq 0 \\ 0 &=a \cdot x +b \\ -b &=a \cdot x \\ \frac{-b}{a}& =x \end{align}
Anmerkung: Quadratische Gleichungen dieses Typs ($b \neq 0, \ c=0$) haben stets zwei reelle Lösungen:$\ \mathbb{L}=\left\{0, \frac{-b}{a} \right\}$
Sonderfall: $0=a\cdot x^2+c$
Für diesen Fall erfolgt die Lösung direkt durch einfache Umformungsschritte:
\begin{align} 0 &=a \cdot x^2+c \\ -c &=a \cdot x^2 \\ \frac{-c}{a} &= x^2 \\ \sqrt[2]{\frac{-c}{a} }&=x\\ \end{align}
Anmerkung: Quadratische Gleichungen dieses Typs ($b = 0, \ c \neq 0$) haben entweder genau eine reelle Lösung oder keine reelle Lösung (siehe hierzu komplexe Zahlen).
Genau eine reelle Lösung existiert, wenn der Wert unter der Wurzel $\frac{-c}{a}$ größer als Null ist. Dann ist $\ \mathbb{L}=\left\{\sqrt[2]{\frac{-c}{a} }\right\}$.
Ist der Wert unter der Wurzel kleiner als Null, so gibt es keine reelle Lösung: $\ \mathbb{L}=\left\{\right\}$.
