Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen
Nun beschäftigen wir uns mit Zufallsvariablen, die jeden Wert in einem bestimmten reellen Intervall annehmen können, z.B. alle Werte zwischen 2.5 und 10. Dies sind sogenannte stetige Zufallsvariablen. Sie werden verwendet, um zum Beispiel Körpergrößen, Gewicht, Lebensdauer oder Wartedauer in einer Schlange zu beschreiben.
Inhaltsverzeichnis
Grundbegriffe für stetige Zufallsvariablen
Dichtefunktion
Anstelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion P für diskrete Zufallsvariablen, definiert man für stetige Zufallsvariablen die Dichtefunktion f.
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Die Dichtefunktion $f$ ist eine Funktion mit den Eigenschaften:
$$f(x)\geq 0 $$ und
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot dx=1$$ |
Der Grund, warum man nicht die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P$ verwendet, liegt darin, dass stetige Zufallsvariablen unendlich viele (und überabzählbar viele) Werte haben und die Wahrscheinlichkeit, dass ein ganz bestimmter Wert gezogen wird gleich 0 ist.
| 1. Beispiel einer Dichtefunktion | 2. Beispiel einer Dichtefunktion |
|---|---|
| $$f(x)\geq 0$$ und $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot dx=\int_{0}^{4} \frac{1}{4}=1$$ | $$f(x)\geq $$ und $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot dx=\int_{0}^{2} \frac{1}{4}x\cdot dx + \int_{2}^{4} -\frac{1}{4}x\cdot dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$ |
Verteilungsfunktion
Mit Hilfe der Dichtefunktion definieren wir nun (ähnlich wie bei den diskreten Zufallsvariablen) die ...
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Verteilungsfunktion F
$$F(x)=P(X\leq x)= \int_{-\infty}^{x} f(t)\cdot dt$$ Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass $X$ einen Wert $\leq x$ annimmt. |
Wichtig: Die Funktionswerte der Dichtefunktion $f(x)$ geben NICHT die Wahrscheinlichkeit $P(X=x)$ an. Bei stetigen Zufallsvariablen können wir nur die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass $X$ Werte in einem bestimmten Intervall annimmt.
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Die Wahrscheinlichkeit, dass die stetige ZV $X$ einen Wert im Intervall [a;b] annimmt, entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion zwischen den Grenzen a und b:
$$P(a\leq X\leq b)= \int_{a}^{b} f(x)\cdot dx = F(b)-F(a)$$ |
Hinweis:
- Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen bestimmten Wert $a$ annimmt ist 0 da:
$$P(a\leq X\leq a)= \int_{a}^{a} f(x)\cdot dx = F(a)-F(a)=0$$
- $P(X\leq a)=P(X<a)$ Begründung: $ P(X\leq a)=P(X<a)+P(X=a)$ und da $P(X=a)=0$ ist, folgt die Behauptung.
- $P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)$, wie aus der rechten Skizze leicht zu sehen ist.
Erwartungswert und Standardabweichung
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Für stetige ZV sind Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ wie folgt definiert:
$$E(x)=\mu=\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f(x)\cdot dx$$ $$\sigma =\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2 f(x)\cdot dx}$$ |
Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der folgenden zwei Dichtefunktionen. Erklären Sie die Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede bei $\mu$ und $\sigma$:
| 1. Dichtefunktion | 2. Dichtefunktion |
|---|---|
| 1. Dichtefunktion | 2. Dichtefunktion | |
|---|---|---|
| $\mu$ | $$\mu=\int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x)\cdot dx=\int_{0}^{4} \frac{1}{4}x=\frac{1}{4}\cdot \frac{x^2}{2}\vert _{0}^{4}=2$$
$$\mu = 2$$ |
$$\mu=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot dx=\int_{0}^{2} \underbrace{x \cdot \frac{1}{4}x}_{-\frac{1}{4}x^2}+\int_{2}^{4} \underbrace{x\cdot (-\frac{1}{4}x+1)}_{ -\frac{1}{4}x^2+x}=$$
$$=\frac{1}{4}\cdot\frac{x^3}{3}\vert_{0}^{2} +[-\frac{1}{4}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}]_{2}^{4}=$$ $$=\frac{1}{4}\cdot\frac{2^3}{3}-0 +\left[-\frac{1}{4}\cdot\frac{4^3}{3}+\frac{4^2}{2}-(-\frac{1}{4}\cdot\frac{2^3}{3}+\frac{2^2}{2})\right]=$$ $$=\frac{2}{3}+\left[-\frac{16}{3}+8-(-\frac{2}{3}+2)\right]=2$$ |
| $\sigma$ | $$\sigma=\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu )^2 \cdot f(x)\cdot dx}=$$
$$=\sqrt{\int_{0}^{4} \underbrace{(x-2)^2}_{x^2-4x+4}\cdot \frac{1}{4}\cdot dx }=$$ $$=\sqrt { \frac{1}{4} \left( \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2}+4x \right) \vert_{0}^{4} }=$$ $$=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot (\frac{4^3}{3}-\frac{4^3}{2}+16)}=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1.15$$ |
$$\sigma=\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu )^2 \cdot f(x)\cdot dx}$$
$$=\sqrt{\int_{0}^{2}(x-2)^2\cdot \frac{1}{4}\cdot x + \int_{2}^{4}(x-2)^2\cdot (-\frac{1}{4}\cdot x+1)}=...$$ $$\sigma=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0.82$$ |
| Graph |
Wichtig: Während beide Zufallsvariablen über denselben Erwartungswert verfügen ($\mu=2$), unterscheiden sie sich in ihrer Standardabweichung. Die Zufallsvariable mit der Dichtefunktion 1 weist eine höhere Streuung auf als jene Zufallsvariable mit Dichtefunktion 2.
Eine der wichtigsten stetigen Verteilungsfunktionen ist die
Normalverteilung
Einleitung
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Eine stetige Zufallsvariable ist normalverteilt mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ (kurz: $N(\mu ;\sigma)$-verteilt), wenn für die Dichtefunktion $f$ gilt:
$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma}\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot (\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$$ |
Die Dichtefunktion der Normalverteilung wird aufgrund ihrer Form „Gaußschen Glockenkurve“ genannt.
Eigenschaften des Graphen der Dichtefunktion :
- Die Glockenkurve ist symmetrisch zum Erwartungswert $\mu$, bei dem Sie auch ihren einzigen Hochpunkt hat.
- Die beiden Wendepunkte der Glockenkurve befinden sich bei $\mu -\sigma$ und $\mu +\sigma$
- Im Intervall $[\mu -\sigma ; \mu -\sigma]$ befinden sich ca. 68 % aller Werte.
- Die Glockenkurve nähert sich asymptotisch der x-Achse an und es gilt
$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty} f(x) =0$$
- Die Dichtefunktion erfüllt alle wichtigen Eigensachften einer Dichtefunktion:
- $f(x)\geq 0 $ und
- $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot dx=1$ (d.h. die Fläche unterhalb der Dichtefunktion ist 1).
Die Normalverteilung ist deshalb so wichtig, da es in der Natur und im Alltag sehr viele Zuvallsvariablen gibt, die eine solche Verteilung aufweisen und somit eine Dichtefunktion besitzen, deren Graph glockenförmig ist.
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Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten erfolgt über die Berechnung der Fläche unterhalb der Dichtefunktion.
Für die Verteilungsfunktion $F$ gilt wieder: $$F(x)=P(X\leq x)=$\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma}\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot (\frac{t-\mu}{\sigma})^2}\cdot dt$$ Die Berechnung dieses Integrals erfolgt in der Regel mithilfe des TR/GeoGebras. |
Wichtige Überlegungen:
[[Datei:Normal1.png|400px|miniatur|zentriert|$P(X\leq \mu)=0.5]] UNIQ4d061cc3ee0923e0-MathJax-32-QINU [[Datei:Normal2.png|400px|miniatur|zentriert|$P(X\leq b)=F(b)$]] UNIQ4d061cc3ee0923e0-MathJax-33-QINU [[Datei:Normal3.png|400px|miniatur|zentriert|$P(X\geq b)=1-P(X\leq b)=1-F(b)$]] UNIQ4d061cc3ee0923e0-MathJax-34-QINU [[Datei:Normal4.png|400px|miniatur|zentriert|$P(a\leq X\geq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F(b)-F(a)$]] UNIQ4d061cc3ee0923e0-MathJax-35-QINU === $\sigma$-Umgebungen ===
