Rentenrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Lösung

1. Gegeben und Gesucht
   • Rate R=1200
   • nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
   • ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
   • $i=4\%$
     $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\ \rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
   • Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat)
     
     
     
2. Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$
   
3. Antwortsatz

   Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$. Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich. Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann gilt:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$ wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Unter folgendem Link findest du die Herleitung der Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: Herleitung der Endwertformel

Lösung

• $B=15000$
• $n=10\cdot 12=120$
• $i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$
• nachschüssig
• $R=$?

Durch Verwendung der nachschüssigen Barwertformel ergibt sich:

$\begin{align} B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) & \textrm{und} v\cdot (v^{120}-1))\\ \end{align}$

$\begin{align} \frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&=R &&\\ \end{align}$

$$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatilich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 158.29 Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1! (Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 158.29 … Y ist das Jahr)