Inhalt:Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven: Unterschied zwischen den Versionen
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$f(x)=x^2$<br /> | $f(x)=x^2$<br /> | ||
$g(x)=4$ | $g(x)=4$ | ||
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$$x^2=4$$ | $$x^2=4$$ | ||
$$x=\pm 2$$ | $$x=\pm 2$$ | ||
| − | Somit haben wir einen Schnittpunkt bei $x=-2$ und einen bei $x=2$ (Hinweis: Die y-Koordinaten sind für die weitere Berechnung nicht erforderlich | + | Somit haben wir einen Schnittpunkt bei $x=-2$ und einen bei $x=2$ (Hinweis: Die $y$-Koordinaten sind für die weitere Berechnung nicht erforderlich.). |
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$$A=A_{ \Box }-A_{\cup}=\int_{-2}^2 g(x)dx-\int_{-2}^2 f(x)dx$$ | $$A=A_{ \Box }-A_{\cup}=\int_{-2}^2 g(x)dx-\int_{-2}^2 f(x)dx$$ | ||
$$A=16-5,33=\underline{\underline{10,67} }$$ | $$A=16-5,33=\underline{\underline{10,67} }$$ | ||
| − | '''Wichtig:''' Da hier der Graph von $g$ oberhalb von $f$ liegt, muss man die Formel wie hier gezeigt anschreiben | + | '''Wichtig:''' Da hier der Graph von $g$ oberhalb von $f$ liegt, muss man die Formel wie hier gezeigt anschreiben. |
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1=Berechne den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionsgraphen mit $f(x)=-0.5 x² + 4x - 5$ und $g(x)=0.5x² - 4x + 7$ eingeschlossen wird. Fertige zuerst eine Skizze an. | + | {{Vorlage:Beispiel|1=Berechne den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionsgraphen $f$ mit $f(x)=-0.5 x² + 4x - 5$ und $g$ mit $g(x)=0.5x² - 4x + 7$ eingeschlossen wird. Fertige zuerst eine Skizze an. |
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$$\int_2^6 \left(-x^2+8x-12\right)dx=10.67$$ | $$\int_2^6 \left(-x^2+8x-12\right)dx=10.67$$ | ||
| − | Der gesuchte Flächeninhalt beträgt 10.67 FE. | + | Der gesuchte Flächeninhalt beträgt $10.67$ FE. |
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{{Vorlage:Merke|1= Wichtig ist immer, dass in der Formel immer die '''obere''' Funktion minus die '''untere''' Funktion berechnet wird. | {{Vorlage:Merke|1= Wichtig ist immer, dass in der Formel immer die '''obere''' Funktion minus die '''untere''' Funktion berechnet wird. | ||
| − | Besteht eine Fläche aus mehreren Teilschnittflächen, so muss in der Regel jede einzeln berechnet werden | + | Besteht eine Fläche aus mehreren Teilschnittflächen, so muss in der Regel jede einzeln berechnet werden. |
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| − | Dies muss in Beispielen wie dem | + | Dies muss in Beispielen wie dem Folgenden berücksichtigt werden: |
{{Vorlage:Beispiel|1= | {{Vorlage:Beispiel|1= | ||
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| − | [[Datei:2kurven-beispiel4b.png|thumb|300px|right|Jede der Teilflächen hat einen Inhalt von 4 FE.]] | + | [[Datei:2kurven-beispiel4b.png|thumb|300px|right|Jede der Teilflächen hat einen Inhalt von $4$ FE.]] |
'''2. Schritt''': Berechnung des Flächeninhaltes | '''2. Schritt''': Berechnung des Flächeninhaltes | ||
| − | Die gesuchte Fläche besteht aus zwei Flächeninhalten, die wir getrennt | + | Die gesuchte Fläche besteht aus zwei Flächeninhalten, die wir getrennt voneinander berechnen würden, weil $f$ und $g$ abwechselnd oben bzw. unten sind. |
| − | Die Rechnung $\int_1^5 (f(x)-g(x))dx$ wäre <span style="color=red" '''falsch'''</span>, da hier 0 herauskommt (prüfe es selbst nach | + | Die Rechnung $\int_1^5 (f(x)-g(x))dx$ wäre <span style="color=red" '''falsch'''</span>, da hier $0$ herauskommt (prüfe es selbst nach). |
| − | * Linke Fläche: Hier ist g oben und f unten: | + | * Linke Fläche: Hier ist $g$ oben und $f$ unten: |
$$\int_1^3 (g(x)-f(x))dx=\int_1^3 (x^3-9x^2+24x-15-x)dx=\underline{4}$$ | $$\int_1^3 (g(x)-f(x))dx=\int_1^3 (x^3-9x^2+24x-15-x)dx=\underline{4}$$ | ||
| − | * Rechte Fläche: Hier ist f oben und g unten: | + | * Rechte Fläche: Hier ist $f$ oben und $g$ unten: |
$$\int_3^5 (f(x)-g(x))dx=\int_1^3 (x-(x^3-9x^2+24x-15))dx=\underline{4}$$ | $$\int_3^5 (f(x)-g(x))dx=\int_1^3 (x-(x^3-9x^2+24x-15))dx=\underline{4}$$ | ||
* Gesamt: $4+4=\underline{\underline{8} } $ | * Gesamt: $4+4=\underline{\underline{8} } $ | ||
| − | Die eingeschlossene Fläche hat 8 FE. | + | Die eingeschlossene Fläche hat $8$ FE. |
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$=\frac{63}{12}$ | $=\frac{63}{12}$ | ||
| − | $=5 | + | $=5.25$ |
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$A\triangle= A\triangle\Box-A\Box$ | $A\triangle= A\triangle\Box-A\Box$ | ||
| − | $\Rightarrow 5 | + | $\Rightarrow 5.25-3= 2.25$ |
Version vom 28. Dezember 2018, 16:02 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Wiederholung und Herleitung der Formel
Das folgende Video bietet dir einen Überblick über das Gelernte und erklärt dir die Formel für die Fläche zwischen 2 Kurven:
| ab Minute 3:23 geht es um die Fläche zwischen 2 Kurven. |
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Formel zur Berechnung der Fläche zwischen $2$ Graphen
Gegeben sei eine Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen $f$ und $g$, dann kann der Inhalt der eingeschlossenen Formel mit dieser Formel berechnet werden: $$\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx \textrm{ bzw. } \int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$ wobei der Graph von $f$ die obere und der Graph von $g$ die untere Begrenzungskurve sein muss! $$\int_{\color{blue}{linke\ Schnittstelle} }^{\color{blue}{rechte\ Schnittstelle} } \left(\color{green}{obere\ Funktion}-\color{red}{untere\ Funktion}\right)dx$$ |
$Aha!$ Das folgende Applet zeigt dir die Herleitung dieser Formel
Herleitung der Formel als Bilderreihe
Zuerst werden die Schnittpunkte bestimmt.
Als nächstes berechnet man die große Fläche mit $\int_a^b f(x) dx$ und ...
... zieht davon die kleine Fläche $\int_a^b g(x)dx$ ab.
Als Ergebnis erhält man die gesuchte blaue Fläche.
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$$\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx$$ |
Exkurs: Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?
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Der Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen ist jener Punkt, an dem beide Funktionen den gleichen $y$-Wert haben.
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$f(x)=2x+1$ und $g(x)=x−1$. Ermitteln Sie den Schnittpunkt der beiden Funktionen.
1. Schritt: Funktionen gleichsetzen. $$f(x)=g(x)$$ $$2x+1=x−1$$
2. Schritt: Gleichung nach $x$ auflösen (siehe Äquivalenzumformungen):
$$2x+1=x−1$$ $$2x=x−2$$ $$x=−2$$
Die $x$-Koordinate des Schnittpunktes lautet $x=-2$.
3. Schritt: $y$-Koordinate durch Einsetzen der $x$-Koordinate berechnen:
$$f(-2)=2\cdot (-2)+1$$
$$y=-3$$
Schnittpunkt: $(-2\vert -3)$
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Schnittpunkte sind wichtig, weil sie uns zeigen, in welchem Bereich wir integrieren müssen. |
Beispiele
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Funktionen $f$ und $g$ umschlossen wird.
$f(x)=x^2$
$g(x)=4$
$$f(x)=g(x)$$ $$x^2=4$$ $$x=\pm 2$$ Somit haben wir einen Schnittpunkt bei $x=-2$ und einen bei $x=2$ (Hinweis: Die $y$-Koordinaten sind für die weitere Berechnung nicht erforderlich.).
2. Schritt: Flächen berechnen und voneinander abziehen:
Fläche unter $f(x)=A_{\cup}$
Fläche unter $g(x)=A_{ \Box }$
Dann ist die gesuchte Fläche $A$:
$$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$$
$A_{ \Box }=a*a=4*4=16$
Alternativ kann man hier auch das bestimmte Integral verwenden:
$$A_{ \Box }=\int_{-2}^2 g(x)dx=\int_{-2}^2 4dx=\left[ 4x\right]_{-2}^2=4\cdot 2-\left[ 4\cdot (-2)\right]=\underline{16}$$
$$A_{\cup}=\int_{-2}^2 f(x)dx=\int_{-2}^2 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2)^3}{3}=\frac{16}{3}=\underline{5.33}$$
Damit erhält man für $A$: $$A=A_{ \Box }-A_{\cup}=\int_{-2}^2 g(x)dx-\int_{-2}^2 f(x)dx$$ $$A=16-5,33=\underline{\underline{10,67} }$$ Wichtig: Da hier der Graph von $g$ oberhalb von $f$ liegt, muss man die Formel wie hier gezeigt anschreiben.
In den folgenden Beispielen wenden wir nun direkt die Formel an, ohne die Einzelheiten zu erklären:
Berechne den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionsgraphen $f$ mit $f(x)=-0.5 x² + 4x - 5$ und $g$ mit $g(x)=0.5x² - 4x + 7$ eingeschlossen wird. Fertige zuerst eine Skizze an.
1. Schritt: Schnittpunkte $$f(x)=g(x)$$ $$-0.5 x² + 4x - 5=0.5x² - 4x + 7$$ $$0=x^2-8x+12$$ $$x_1=2\textrm{ und } x_2=6$$
2. Schritt: Anwenden der Formel $$\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$ $$\int_2^6 \left((-0.5 x² + 4x - 5)-(0.5x² - 4x + 7))\right)dx$$ $$\int_2^6 \left(-x^2+8x-12\right)dx=10.67$$
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt $10.67$ FE.
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Wichtig ist immer, dass in der Formel immer die obere Funktion minus die untere Funktion berechnet wird.
Besteht eine Fläche aus mehreren Teilschnittflächen, so muss in der Regel jede einzeln berechnet werden. |
Dies muss in Beispielen wie dem Folgenden berücksichtigt werden:
Berechne den Inhalt der blau eingefärbten Fläche, wobei $f(x)=x$ und $g(x)=x^3-9x^2+24x-15$ ist.
$$f(x)=g(x)$$ $$x=x^3-9x^2+24x-15$$ Mithilfe von Technologie erhält man: $$x_1=1,\ x_2=3 \textrm{ und } x_3=5$$
2. Schritt: Berechnung des Flächeninhaltes
Die gesuchte Fläche besteht aus zwei Flächeninhalten, die wir getrennt voneinander berechnen würden, weil $f$ und $g$ abwechselnd oben bzw. unten sind.
Die Rechnung $\int_1^5 (f(x)-g(x))dx$ wäre <span style="color=red" falsch</span>, da hier $0$ herauskommt (prüfe es selbst nach).
- Linke Fläche: Hier ist $g$ oben und $f$ unten:
$$\int_1^3 (g(x)-f(x))dx=\int_1^3 (x^3-9x^2+24x-15-x)dx=\underline{4}$$
- Rechte Fläche: Hier ist $f$ oben und $g$ unten:
$$\int_3^5 (f(x)-g(x))dx=\int_1^3 (x-(x^3-9x^2+24x-15))dx=\underline{4}$$
- Gesamt: $4+4=\underline{\underline{8} } $
Die eingeschlossene Fläche hat $8$ FE.
Übungs- und Lernlinks
- Erklärungen und Beispiele von brinkmann-du
- Erklärung von matheguru
- Beispiele samt Lösungen von Roolfs
- weiters Lernvideo in dem ein Beispiel vorgerechnet wird
