Mengenlehre: Unterschied zwischen den Versionen

[+/-]

Widgets

Widgets

Gewünschte Seiten
  • Keine Informationen verfügbar
Wer ist online?
  • Es ist niemand angemeldet.
Aus Matura Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Durchschnitt von Mengen)
(→‎Mengenoperationen)
Zeile 75: Zeile 75:
 
}}
 
}}
  
−
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist Menge $A$ einer Spielgruppe mit $A={Anna, Peter, Sandra, Lukas, Julia, Andreas}$.
+
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist Menge $A$ einer Spielgruppe mit $A=\{Anna, Peter, Sandra, Lukas, Julia, Andreas\}$.
  
 
Gib die Teilmenge $B$ von $A$ an, die alle weiblichen Kinder beinhaltet.
 
Gib die Teilmenge $B$ von $A$ an, die alle weiblichen Kinder beinhaltet.
Zeile 116: Zeile 116:
  
  
−
=== Durchschnitt von Mengen ===
+
=== Durchschnitt von Mengen - "und"-Operation ===
 
  Bild
 
  Bild
 
{{Vorlage:Definition|1= Der Durchschnitt zweier Mengen $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die sowohl in $A$ auch in $B$ einthalten sind}}
 
{{Vorlage:Definition|1= Der Durchschnitt zweier Mengen $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die sowohl in $A$ auch in $B$ einthalten sind}}
Zeile 149: Zeile 149:
 
|}
 
|}
  
−
=== Vereinigung von Mengen ===
+
=== Vereinigung von Mengen - "oder"-Operation ===
 
Bild
 
Bild
 
{{Vorlage:Definition|1= Die Vereinigung zweier Mengen $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die
 
{{Vorlage:Definition|1= Die Vereinigung zweier Mengen $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die
Zeile 192: Zeile 192:
  
  
−
=== Differenzen von Mengen ===
+
=== Differenzen von Mengen - "ohne"-Operation ===
 +
Bild
 +
 
 +
{{Vorlage:Definition|1=
 +
Die Differenzmenge  $A\setminus B$  (sprich: „A ohne B“) zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente aus A, die nicht zu B gehören.
 +
 
 +
}}
 +
 
 +
 
 +
{{Vorlage:Beispiel|1= In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M.
 +
$$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$
 +
$$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$
 +
* Bestimme die Menge $S\setminus M$.
 +
* Interpretiere $S\setminus M$.
 +
 
 +
|2=
 +
'''Bestimme die Vereinigungsmenge von $S$ und $M$'''
 +
 
 +
Die Menge $S\setminus M$ beinhaltet alle Elemente von $S$, die nicht in $M$ enthalten sind.
 +
Somit gilt:
 +
$$S\setminus M=\{ Andreas,\ Anna,\ Lukas,\ Sandra\}$$
 +
Bild
 +
 
 +
 
 +
'''Interpretiere die Menge.'''
 +
 
 +
In $S\setminus M$ sind alle Personen, die nur im Schwimmverein und im Musikverein sind.
 +
 
 +
 
 +
}}
 +
 
  
 
{| border=1  align=center
 
{| border=1  align=center
Zeile 204: Zeile 234:
  
 
=== Überblick ===
 
=== Überblick ===
 +
{| border=1 align=center
 +
! Symbol !! Bedeutung  !! Grafik
 +
|-
 +
| $\bar{A}$ || Komplementärmenge  <br />"alles außer A" || Bild
 +
|-
 +
| $\cap$ || Schnittmenge $A\cap B$ <br /> "sowohl in A als auch in B" || Bild
 +
|-
 +
| $\cup$ || Vereinigungsmenge $A\cup B$ <br /> "in A oder in B oder in beiden" || Bild
 +
|-
 +
| $\setminus$ || Differenzenmenge $A\setminus B$ <br /> "A ohne B" || Bild
 +
|}
 +
 
https://www.geogebra.org/m/SGrUtT4h
 
https://www.geogebra.org/m/SGrUtT4h
 
(Vorlage von [https://www.geogebra.org/onleindl Weindl]
 
(Vorlage von [https://www.geogebra.org/onleindl Weindl]

Version vom 12. August 2016, 09:45 Uhr

Einleitung


Was ist eine Menge

Definition
Grün rufezeichen.png
 Eine Menge $A$ ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Elementen. Die Elemente können dabei Zahlen, Objekte, Personen usw. sein.
  • Die Anzahl der Elemente in einer Menge bezeichnet man als Mächtigkeit, formal: $\vert A \vert$
  • Ist ein Element $x$ in der Menge $A$ enthalten, so gilt $x\in A$ ("$x$ ist Element von $A$")
  • Ist ein Elment $y$ NICHT in der Menge $A$ enthalten, so gilt $y\not\in A$ ("$y$ ist nicht Element von $A$")



Bsp.png

In einer Spielgruppe können die Kinder in der Menge $A$ angegeben werden: $$A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$$ Geben Sie die Mächtigkeit der Menge an.

Die Mächtigkeit ist die Anzahl der Elemente in der Menge. Somit ist $\vert A\vert=6$


Übung zur Definition einer Menge
Quelle: Michael Ruhrländer

Darstellung von Mengen

Mengen-/Venn-Diagramme

Um eine Menge grafisch zu veranschaulichen, verwenden wir Mengendiagramme. Diese werden auch Venn-Diagramme genannt, da die Verwendung solcher Diagramme vom britischen Mathematiker John Venn eingeführt wurde. 

Bild


Bsp.png

Gegeben ist die Menge $A$ mit $$A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$$ Stellen Sie die Menge in einem Mengendiagramm grafisch dar.

Bild


Darstellung im aufzählenden Verfahren

Beim aufzählenden Verfahren werden die Elemente einer Menge innerhalb von so genannten Mengenklammern, $\{$ und $\}$, aufgezählt.

z.B.: $A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$


Darstellung im beschreibenden Verfahren

Beim beschreibenden Verfahren werden die gemeinsame Eigenschaft der Elemente beschrieben.

aufzählendes Verfahren Mengendiagrammm beschreibendes Verfahren
M={Frühlich, Sommer, Herbst, Winter} Bild M ist die Menge der Jahreszeiten eines Jahres.
B={1,2,3,4,5} Bild $$B=\{x\in \mathbb{N}\vert 1\leq x\leq 5\}$$

$$\textrm{"B ist die Menge aller natürlichen Zahlen, für die gilt,}\\ \textrm{dass x größer gleich 1 und kleiner gleich 5 ist"}$$

Mengenoperationen

Teilmenge und leere Menge

Teilmengen sind Mengen, die aus einem Teil aller Elemente einer anderen Menge bestehen. Formal definiert gilt:


Definition
Grün rufezeichen.png
 Eine Menge B ist eine Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist.

Formal: $B \subseteq A$ 


Graphik von Franz


Bsp.png

Gegeben ist Menge $A$ einer Spielgruppe mit $A=\{Anna, Peter, Sandra, Lukas, Julia, Andreas\}$. Gib die Teilmenge $B$ von $A$ an, die alle weiblichen Kinder beinhaltet.

$$B=\{Anna, Sandra, Julia\}$$


Übung zur Definition einer Menge
Quelle: Michael Ruhrländer



Eine Teilmenge jeder Menge ist die sogenannte leere Menge $\varnothing$:


Definition
Grün rufezeichen.png
 Leere Menge $\varnothing$

Die leere Menge $\varnothing$ beinhaltet kein Element, sie ist leer.

Es gilt:

  • $\varnothing=\{ \ \}$
  • $\vert \varnothing \vert=0$


Beispiele



Komplementärmenge $\bar{A}$

Durchschnitt von Mengen - "und"-Operation

Bild
Definition
Grün rufezeichen.png
 Der Durchschnitt zweier Mengen $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die sowohl in $A$ auch in $B$ einthalten sind


Bsp.png

In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$

  • Bestimme die Durschnittsmenge (="Schnittmenge") von $S$ und $M$.
  • Interpretiere die Durschnittsmenge.


Bestimme die Durschnittsmenge (="Schnittmenge") von $S$ und $M$

Die Schnittmenge beinhaltet alle Elemente, die in beiden Elmenten vorhanden sind. Somit gilt: $$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$$ 

Bild

Interpretiere die Durschnittsmenge.

$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$ bedeutet, dass nur Julia und Peter in beiden Vereinen Mitglieder sind.


Übung zur Definition einer Menge
Quelle: Michael Ruhrländer

Vereinigung von Mengen - "oder"-Operation

Bild

Definition
Grün rufezeichen.png
 Die Vereinigung zweier Mengen $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die
  • in $A$ enthalten oder
  • in $B$ enthalten oder
  • in $A$ und $B$ enthalten sind.



Bsp.png

In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$

  • Bestimme die Vereinigungsmenge von $S$ und $M$.
  • Interpretiere die Vereinigungsmenge.


Bestimme die Vereinigungsmenge von $S$ und $M$

Die Vereinigungsmenge beinhaltet alle Elemente der beiden Mengen. Somit gilt: $$S\cup M=\{Andreas,\ Anna,\ Anton,\ Julia,\ Leo,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra,\ Sebastian,\ Simon\}$$ 

Bild


Interpretiere die Vereinigungsmenge.

In $S\cup M$ sind alle Personen, die im Schwimmverein oder im Musikverein oder in beiden Vereinen sind.


Übung zur Definition einer Menge
Quelle: Michael Ruhrländer



Differenzen von Mengen - "ohne"-Operation

Bild


Definition
Grün rufezeichen.png
 Die Differenzmenge $A\setminus B$ (sprich: „A ohne B“) zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente aus A, die nicht zu B gehören.



Bsp.png

In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$

  • Bestimme die Menge $S\setminus M$.
  • Interpretiere $S\setminus M$.


Bestimme die Vereinigungsmenge von $S$ und $M$

Die Menge $S\setminus M$ beinhaltet alle Elemente von $S$, die nicht in $M$ enthalten sind. Somit gilt: $$S\setminus M=\{ Andreas,\ Anna,\ Lukas,\ Sandra\}$$ 

Bild


Interpretiere die Menge.

In $S\setminus M$ sind alle Personen, die nur im Schwimmverein und im Musikverein sind.


Übung zur Definition einer Menge
Quelle: Michael Ruhrländer


Überblick

Symbol Bedeutung Grafik
$\bar{A}$ Komplementärmenge
"alles außer A" 		Bild
$\cap$ Schnittmenge $A\cap B$
"sowohl in A als auch in B" 		Bild
$\cup$ Vereinigungsmenge $A\cup B$
"in A oder in B oder in beiden" 		Bild
$\setminus$ Differenzenmenge $A\setminus B$
"A ohne B" 		Bild

https://www.geogebra.org/m/SGrUtT4h (Vorlage von Weindl

Test

https://www.geogebra.org/m/gKqgMTxx

Zusammenfassung und Vertiefung


Aufgaben

http://brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_mengen_04/p0_mengen_04.htm


$Bifie$ ["URL1" "Aufgabentitel1"]

Von „https://3.vobs.at/maturawiki/index.php?title=Mengenlehre&oldid=5323“