Matrizen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 30. Juni 2016, 18:07 Uhr

Matrizen sind eine nützliche Darstellung, um ein Gleichungssystem mit vielen linearen Gleichungenzu lösen.

== Überschrift 1 ==Einführung

Eine $2\times2$ Matrix besteht aus 2 Zeilen und 2 Spalten, sie sieht zum Beispiel so aus

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} $

Der erste Index gibt dabei an in der welcher Zeile und der zweite Index in welcher Spalte sich die Zahl befindet.

Beispiel: $a_{11}=3 \qquad a_{12}=6 \qquad a_{21}=7 \qquad a_{22}=8$

$ \qquad A= \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix} $

Definition

$m \times n$ Matrix $ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} $ Die $m\times n$ Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.

Merke

Bei der Addition von Matrizen, werden die einzelnen Komponenten miteinander addiert. Sei die Matrix $ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} $ und die Matrix $ B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} &\dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix} $ dann ist $$A+B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12}+ b_{12} & \dots & a_{1n}+ b_{1n} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22} +b_{22} &\dots & a_{1n}+ b_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1}+ b_{m1} &a_{m2}+ b_{m2} & \dots & a_{mn}+ b_{mn} \end{pmatrix} $$

Bei der $2\times 2$ Matrix schaut das wie folgt aus

$ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} $

$ B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{pmatrix} $

dann ist $ \qquad \qquad \qquad A+B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \\ \end{pmatrix}$

Anwendung

Ein lineares Gleichungssystem der Form

$$\begin{align*} 5 x_1 &+ & 4x_2 &+ & x_3 &=&8 \\ 2 x_1 &+ & & & 9x_3 &=& 4\\ 3 x_1 &+ & 8x_2 &+ & 7x_3 &=& 1\\ \end{align*}$$

wird in Matrixdarstellung so geschrieben:

\begin{equation} \left( \begin{matrix} 5 & 4 & 1\\ 2 & 0 & 9\\ 3 & 8 & 7 \end{matrix} \left| \begin{matrix} 8\\ 4\\ 1 \end{matrix} \right) \right. \end{equation}

== Überschrift 3 == Gozinto-Graphen

Matura-Aufgaben

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