Theorie Zahlenmengen (1.1.): Unterschied zwischen den Versionen

Zahlenmengen

Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ \( \sqrt{7} \) \(\frac{1}{2} \neq sqrt{7}\) gemeinsam?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

• Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
• Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen Zahlenmengen an.

die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$

Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....}

Sie sind "abgeschlossen" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

Beispiel

$$ 7+15=22 $$ Sowohl die beiden Summanden links, als auch die Summe sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$

Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

Sie sind nun "abgeschlossen" bezüglich der Addition und der Subtraktion.

Beispiele $$ -3+7=4$$ oder $$ -8-17=-25$$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert? Beispiel: $$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$ und $ \frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $

Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit Zähler und Nenner als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben: $$ Q={\frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}}, b \neq 0}} $$

Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu $\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$ oder $$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$

die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$

Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die undendlich lang UND niemals periodisch sind Beispiele sind

• $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
• $\pi =3.14159.... $
• $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
• $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von Primzahlen.

die reellen Zahlen $\mathbb{R}$

Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die

1. endlichen oder unendlich periodischen und die
2. unendlichen aber niemals periodischen

so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{I}$

$$ $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$

Vereinfacht gesagt: $\mathbb{R}=$ alle Dezimalzahlen.

die imaginären Zahlen

Stoff der 2. Klasse

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die Wurzel aus negativen Zahlen berechnen.

Beispiel $$ \sqrt{-1} $$ Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit den allen negativen Wurzeln und nennt $$ \textnormal{die Menge der negativen Wurzeln} = \textnormal{die imaginären Zahlen} $$

Weitere Beispiele

• $$ \sqrt{-1}=i$$
• $ \sqrt{-4}=4i$ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $

Imaginäre Zahlen treten bei den quadratischen Gleichungen auf, wenn die entsprechende Parabel keine Nullstelle hat.

die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$