Trigonometrie (2.12 und 3.10): Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 11. Juli 2014, 08:15 Uhr

In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)

Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck

Begriffe

rechtwinkliges Dreieck

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (Dreieck mit einem 90°-Winkel), bestehend aus der Hypotenuse (=längste Seite des rechtw. Dreiecks) und den beiden Katheten. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:

  • die Gegenkathete GK liegt $\beta$ gegenüber
  • die Ankathete AK liegt an $\beta$ an.







Sinus, Cosinus und Tangens

Definition

* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H $sin\ \alpha = \frac{GK}{H}$
* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H $cos\ \alpha = \frac{AK}{H}$
* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK $tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}$

Das besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in

diesem Arbeitsblatt überprüfen.


Wichtig! Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im rechtwinkligen Dreieck! 


Hier noch Aufgaben





Steigung und Steigungswinkel

Steigung und Steigungswinkel

Aus dem Kapitel Lineare Funktionen wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:

$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$ Somit erhalten wir die Formel:

$$k=\tan \alpha$$






Musterbeispiel

Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.

- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.

- Bestimmen Sie

  • a) den Steigungswinkel
  • b) die prozentuelle Steigung


Lösung

Skizze der Rampe

a) Berechnung des Steigungswinkels:

$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ | im TR: $sin^{-1}$

$\alpha = 8.05°$


b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen: $$k=\ tan\ \alpha$$ $$k=\tan \ 8.05°$$ $$k=0.14=14 \ \%$$ A: Die Steigung beträgt 14 %.






Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis

Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis

Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius r=1 cm. Sein Umfang beträgt $$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$

Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:


1) Gradmaß (abgekürzt mit °)

So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.

  • Eine volle Umdrehung hat 360°
  • Eine halbe Umdrehung hat 180°



2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)

Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens b (siehe Skizze) bestimmt werden.

  • Bei einer vollen Umdrehung hat b die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
  • Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.


Hier findest du ein Arbeitsblatt, das dir den Zusammenhang besser erklärt.



Merke:
Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$

$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$ Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.


Musterbeispiel

Text der nicht angezeigt werden soll

a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.

b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.


Lösung


a) Grad- in Bogenmaß: $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$ $$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$ $$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$

A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$

b) Bogen- in Gradmaß: $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$ $$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$ $$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$

A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°




Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis

Theorie

Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:

Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis

Dabei gilt:

  • Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.
  • Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.


Begründung:

Sinus: Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die $\color{\textrm{rote Strecke}}{GK}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete $\color{red}{GK}$.

Zu zeigen ist nun: $$\sin \ \alpha=\color{red}{GK}$$


Beweis: $$\sin\ \alpha=\frac{\color{red}{GK}}{H}=\frac{\color{red}{GK}}{1}=\color{red}{GK}$$ $$\sin\ \alpha=\color{red}{GK}$$


Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.



Mit dem folgenden Arbeitsblatt kannst du dein Verständnis vertiefen.




Wichtige Werte

Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das obige Arbeitsblatt sollte dir dabei helfen:

Sinus Cosinus Tangens
Gradmaß: 90°

Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad

1 0 nicht definiert
180°

$\pi$ rad

0 -1 0
270°

$\frac{3\pi}{2}$ rad

-1 0 nicht definiert
0° und 360°

0 rad und $2\pi$ rad

0 1 0




Trigonometrische Funktionen

Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$

Stellt man nun den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:

Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$



Erklärung:

In diesem Arbeitsblattfindest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die Graphen kommt.


Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$

Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:

Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$


Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$

Der graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:

Graph der Tangensfunktion samt den asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$



Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen

  1. Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
  2. Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die Wertemenge $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der Betrag verwendet.)
  3. Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
  4. Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der Tabelle zum Einheitskreis herausgelesen werden.





Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck

allgemeines Dreieck
rechtwinkliges Dreieck allgemeines Dreieck
Winkelsumme $180°=\alpha+\beta+\gamma$ $180°=\alpha+\beta+\gamma$
Pythagoras $H^2=GK^2+AK^2$ gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
Flächeninhalt $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$ $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
Sinussatz $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
Cosinussatz $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$

Das allgemeinene Dreieck

Sinussatz

Cosinussatz

Allgemeine Flächenformeln

Beispiele

Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!
Siehe auch Formeln aufstellen
Siehe auch Lineare Funktionen
  • Die Sonne (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
Siehe auch: Logarithmus
  • Radausflug (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
Siehe auch
* Beschreibende Statistik
* Exponentielle Abnahme
  • Zimmerei (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
Achtung! Aufgabe b lernst du erst in der 5. Klasse
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