Trigonometrie (2.12 und 3.10): Unterschied zwischen den Versionen

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Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:
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=== Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===
 
=== Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===

Version vom 10. Juli 2014, 11:27 Uhr

In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)

Das rechtwinklige Dreieck

Begriffe

rechtwinkliges Dreieck

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (Dreieck mit einem 90°-Winkel), bestehend aus der Hypotenuse (=längste Seite des rechtw. Dreiecks) und den beiden Katheten. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:

  • die Gegenkathete GK liegt $\beta$ gegenüber
  • die Ankathete AK liegt an $\beta$ an.



Sinus, Cosinus und Tangens

Definition

* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H $sin\ \alpha = \frac{GK}{H}$
* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H $cos\ \alpha = \frac{AK}{H}$
* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK $tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}$

Das besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in

diesem Arbeitsblatt überprüfen.


Wichtig! Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im rechtwinkligen Dreieck! 


Hier noch Aufgaben





Steigung und Steigungswinkel

Steigung und Steigungswinkel

Aus dem Kapitel Lineare Funktionen wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:

$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$ Somit erhalten wir die Formel:

$$k=\tan \alpha$$


Musterbeispiel

Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.

- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.

- Bestimmen Sie

  • a) den Steigungswinkel
  • b) die prozentuelle Steigung


Lösung

Skizze der Rampe

a) Berechnung des Steigungswinkels:

$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ | im TR: $sin^{-1}$

$\alpha = 8.05°$


b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen: $$k=\ tan\ \alpha$$ $$k=\tan \ 8.05°$$ $$k=0.14=14 \ \%$$ A: Die Steigung beträgt 14 %.






Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit 1 cm. Sein Umfang beträgt $U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$. Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:

1) Gradmaß (abgekürzt mit °) So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen. Eine volle Umdrehung hat 360° Eine halbe Umdrehung hat 180°


2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian) Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens b (siehe Skizze) bestimmt werden. Bei einer vollen Umdrehung hat b die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$ Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi rad$ 

Hier Applet
Merke:
Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$

$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$ Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.

Musterbeispiel

Text der nicht angezeigt werden soll

a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.

b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.


Lösung


a) Grad- in Bogenmaß: $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$ $$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$ $$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$

A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$

b) Bogen- in Gradmaß: $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$ $$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \\matbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$ $$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$

A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°


Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis

Sinusfunktion, Cosinusfunktion, Tangensfunktion

Weitere wichtige Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck

allgemeines Dreieck
rechtwinkliges Dreieck allgemeines Dreieck
Winkelsumme $180°=\alpha+\beta+\gamma$ $180°=\alpha+\beta+\gamma$
Pythagoras $H^2=GK^2+AK^2$ gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
Flächeninhalt $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$ $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
Sinussatz $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
Cosinussatz $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$






Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck

Beispiele

Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!
Siehe auch Formeln aufstellen
Siehe auch Lineare Funktionen
  • Die Sonne (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
Siehe auch: Logarithmus
  • Radausflug (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
Siehe auch
* Beschreibende Statistik
* Exponentielle Abnahme
  • Zimmerei (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
Achtung! Aufgabe b lernst du erst in der 5. Klasse
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