Zins- und Zinseszinsrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Einfaches Beispiel: € 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt.
Lösung:

• $K_0 =30 $
• $n = 1 $
• $K_1 = $?
• $i_{eff} = 5$%

$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$ $$ K_1 = 30 + 1.5 $$ $$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$

Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.

Beispiel: € 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
Lösung

• $K_0=30$
• $K_n=$ ?
• $i_{eff}=5$%
• $n=4$

$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$ $$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$ $$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$ $$ K_n=30+6$$ $$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.

Lösung

• $K_0=75$
• $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
• $K_\frac{4}{12}=$?
• $i=4$%

$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$ $$ K_\frac{4}{12}=76 $$

Antwort: Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.

1. $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
2. $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
3. $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$

• $K_0=800$
• $n=2$
• $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
• $K_2=$?

$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$ $$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$ $$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$

• $K_0=$?
• $n=3$
• $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
• $K_3=1500$

$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$ $$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$ $$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$ $$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$

• $K_0=100$
• $n=?$
• $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
• $K_n=200$

$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$ $$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$ $$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$ $$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$ $$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$ $$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$ Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.

• $K_0=100$?
• $n=7$
• $i=?\%$
• $K_7=118.87$

$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$ $$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$ $$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$ $$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$ $$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$ Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.

Lösung: $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

Antwort: Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$ Kürzt man $K_0$, so erhält man: $$r_1=(r_m)^m$$ bzw. $$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

Der äquivalente unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung $$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$ bestimmt werden.