Äquivalenzumformungen: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 10. April 2017, 11:00 Uhr
Äquivalenzumformungen
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Zwei Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge haben. |
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Folgende Umformungen verändern die Lösungsmenge einer Gleichung nicht, wenn sie auf beiden Seiten gleich angewendet werden:
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Folgende Gleichung ist gegeben: $4x-5=2x-8$
- Äquivalente Gleichungen:
Seitentausch: $$2x-8=4x-5$$ Subtraktion von 2x ergibt: $$-8=2x-5$$ Addition von 5 ergibt: $$-3=2x$$ Division durch 2 ergibt: $$-1.5=x$$
- Daraus lässt sich leicht die Lösungsmenge ablesen: $\mathbb{L} ={\{-1.5\}}$
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Die Wurzel kann auch als Äquivalenzumformung verwendet werden, wenn eine Fallunterscheidung gemacht wird.
Ursprungsgleichung: $(\rm{linker\ Term})^2=(\rm{rechter\ Term})^2$
Fallunterscheidung: $\rm{linker\ Term}=+(\rm{rechter\ Term})$ oder $\rm{linker\ Term}=-(\rm{rechter\ Term})$
Kurz: $\rm{linker\ Term}=\pm (\rm{rechter\ Term})$ |
Folgende Gleichung ist gegeben: $x^2=4$
Wurzelziehen auf beiden Seiten $$x=\pm 2$$
- Daraus lässt sich leicht die Lösungsmenge ablesen: $\mathbb{L} ={\{-2;2\}}$
