Matrizen: Unterschied zwischen den Versionen

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Matrizen sind eine nützliche Darstellung, um ein Gleichungssystem mit vielen linearen Gleichungenzu lösen.
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Matrizen sind eine n\"utzliche Darstellung, um ein Gleichungssystem mit vielen linearen Gleichungenzu l\"osen oder auch um Tabellen \"ubersichtlich darzustellen, also um lineare Zusammenh\"ange zwischen mehreren Gr\"o"sen herzustellen.
  
  
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Der erste Index gibt dabei an in der welcher Zeile und der zweite Index in welcher Spalte sich die Zahl befindet.
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Der erste Index gibt dabei an in der welcher Zeile und der zweite Index in welcher Spalte sich die Zahl befindet. Hier bilden zum Beispiel $a_{11}$ und $ a_{12}$ die erste Zeile, $a_{21}$  und $ a_{22} $ die zweite Zeile, $a_{11}$ und $ a_{21}$ die erste Spalte und $a_{12}$  und $a_{22}$ die zweite Spalte.
  
 
Beispiel: $a_{11}=3  \qquad a_{12}=6  \qquad a_{21}=7  \qquad a_{22}=8$  
 
Beispiel: $a_{11}=3  \qquad a_{12}=6  \qquad a_{21}=7  \qquad a_{22}=8$  
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{{Vorlage:Beispiel|1= Was ist die erste Zeile der Matrix $\quad F= \begin{pmatrix}
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8 & 12 &17 \\
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3,9 & 5 & 84,7 \\
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4,5 &63 & 9,6\\
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\end{pmatrix}  $ und was ist die 3. Spalte der Matrix $F$?
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|2=  1.Zeile $\left( 8 \quad 12 \quad 17  \right) $
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3.Spalte $\left(\begin{array}{c} 17 \\ 84,7 \\ 9,6 \end{array}\right)$}}
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{{Vorlage:Definition|1=  $m \times n$ Matrix  
 
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Die  $m\times n$ Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.}}
 
Die  $m\times n$ Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.}}
  
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{{Vorlage:Merke|1=Eine quadratische Matrix hat die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten.}}
  
  
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a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12}  \\
 
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==  Anwendung==
 
  
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Ein lineares Gleichungssystem der Form
 
  
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$$\begin{align*}
 
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5 x_1  &+ & 4x_2  &+ & x_3  &=&8 \\
 
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2 x_1  &+ &  & & 9x_3  &=& 4\\
 
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3 x_1  &+ & 8x_2  &+ & 7x_3  &=& 1\\
 
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\end{align*}$$
 
  
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wird in Matrixdarstellung so geschrieben:
 
  
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\begin{equation}
 
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\left(
 
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  \begin{matrix}
 
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    2 & 0 & 9\\
 
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    3 & 8 & 7
 
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  \end{matrix}
 
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\left|
 
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  \begin{matrix}
 
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    8\\ 4\\ 1
 
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  \end{matrix}
 
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\right)
 
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{{Vorlage:Merke|1= Bei der Multiplikation mit einem Skalar $k$ (einer reellen Zahl), wird jede Komponente einzeln mit dem Skalar multipliziert.
  
  
  
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{{Vorlage:Beispiel|1= Stelle das lineare Gleichungssystem in Matrizenform dar:
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$\qquad \begin{align*}
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k \cdot A= \begin{pmatrix}
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  & 7x_2    &= 4 \\
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k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \dots & k \cdot a_{1n} \\
−
9 x_1  +& 2 x_2      &= 1\\
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k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \dots & k \cdot a_{2n} \\
−
\end{align*}$.
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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k \cdot a_{m1} &k \cdot a_{m2} & \dots & k \cdot a_{mn} \\
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\end{pmatrix}
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|2= 
 
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$\left( \begin{array}{cc}
 
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0 & 7 \\
 
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9 & 2
 
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\end{array}  \Bigg \vert \begin{array}{c}
 
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4 \\
 
−
1
 
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\end{array} \right)$
 
 
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{{Vorlage:Beispiel|1= Multipliziere die Matrix $\quad E= \begin{pmatrix}
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7 & 2  \\
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9 & 0 \\
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\end{pmatrix}  \quad $  mit $3$.
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|2=  $3 \cdot E=
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\begin{pmatrix}
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21 & 6  \\
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27 & 0  \\
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\end{pmatrix}$}}
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{{Vorlage:Definition|1=Nullmatrix
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Die Nullmatrix sieht wie folgt aus:
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0= \begin{pmatrix}
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0  & \dots & 0 \\
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\vdots  &  & \vdots \\
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0  & \dots & 0 \\
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\end{pmatrix}
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$  }}
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{{Vorlage:Definition|1=Einheitsmatrix
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Die Einheitsmatrix hat nur in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) Einsen stehen. Sonst befinden sich \"uberall Nullen. Zudem ist sie ein quadratische Matrix.
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I_n= \begin{pmatrix}
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1 & 0 & \dots & 0 \\
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0 & 1 & \dots & 0 \\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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0 &0 & \dots & 1 \\
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\end{pmatrix}
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{{Vorlage:Beispiel|1= Wie sieht die Einheitsmatrix im dreidimensionalen Raum aus?
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|2=  $I_3= \begin{pmatrix}
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1 & 0 &0 \\
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0 & 1 & 0 \\
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0 &0 & 1\\
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\end{pmatrix}  $ }}
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{{Vorlage:Definition|1=Transponierte Matrix
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Bei einer transponierten Matrix werden die Zeilen und Spalten miteinander vertauscht. Sei $A$ die ursprüngliche Matrix und $A^T$ die transponierte:
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$A= \begin{pmatrix}
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a_{11} & a_{12}  &a_{13}  \\
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a_{21}  & a_{22}  & a_{23}  \\
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a_{31}  &a_{32}  & a_{33} \\
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\end{pmatrix}  $
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dann ist
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$A^T= \begin{pmatrix}
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a_{11} & a_{21}  &a_{31}  \\
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a_{12}  & a_{22}  & a_{32}  \\
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a_{13}  &a_{23}  & a_{33} \\
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\end{pmatrix}  $
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{{Vorlage:Beispiel|1= Wie sieht die transponierten Matrizen zu der Matrix $B$ und $C$ aus?\\
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$\quad B= \begin{pmatrix}
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9 & 4  \\
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654 & 274 \\
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\end{pmatrix} $
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$\quad C= \begin{pmatrix}
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65 & 4,7 &6 &9 &89  \\
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8,3 & 2,4 & 7 & 3&1 \\
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4 & 2 & 0 & 7,9 & 5\\
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\end{pmatrix} $
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|2=  $\quad B^T= \begin{pmatrix}
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9 & 654  \\
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4 & 274 \\
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\end{pmatrix} $ \\
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$\quad C^T= \begin{pmatrix}
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65 & 8,3 & 4\\
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4,7 & 2,4 & 2\\
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6 & 7& 0 \\
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9& 3 & 7,9\\
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89 & 1 & 5\\
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\end{pmatrix} $
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{{Vorlage:Definition|1=Matrizenmultiplikation
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\url{https://www.youtube.com/watch?v=5UIzHozX2hw}
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Zwei Matrizen werden nach der Regel: Zeile mal Spalte multipliziert.
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Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, das heißt: $A\cdot B \neq B \cdot A$.
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Um $A \cdot B =C$ zu erhalten muss die Anzahl der Spalten von $A$ die selbe sein wie die Anzahl der Zeilen von $B$. Also wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist, so $B$ eine $n \times p$ Matrix sein, wobei $m$ und $p$ beliebig sind und $n$ bei $A$ und $B$ die gleichen sein müssen. Au\"serdem ist dann $C$ eine $m \times p$ Matrix, sie hat also dieselbe Anzahl der Zeilen wie die Matrix $A$ und die selbe Spaltenanzahl wie die Matrix $B$.
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Version vom 20. September 2016, 06:49 Uhr



Matrizen sind eine n\"utzliche Darstellung, um ein Gleichungssystem mit vielen linearen Gleichungenzu l\"osen oder auch um Tabellen \"ubersichtlich darzustellen, also um lineare Zusammenh\"ange zwischen mehreren Gr\"o"sen herzustellen.


Einführung

Eine $2\times2$ Matrix besteht aus 2 Zeilen und 2 Spalten, sie sieht zum Beispiel so aus

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} $


Der erste Index gibt dabei an in der welcher Zeile und der zweite Index in welcher Spalte sich die Zahl befindet. Hier bilden zum Beispiel $a_{11}$ und $ a_{12}$ die erste Zeile, $a_{21}$ und $ a_{22} $ die zweite Zeile, $a_{11}$ und $ a_{21}$ die erste Spalte und $a_{12}$ und $a_{22}$ die zweite Spalte.

Beispiel: $a_{11}=3 \qquad a_{12}=6 \qquad a_{21}=7 \qquad a_{22}=8$

$ \qquad A= \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix} $




Bsp.png

Was ist die erste Zeile der Matrix $\quad F= \begin{pmatrix} 8 & 12 &17 \\ 3,9 & 5 & 84,7 \\ 4,5 &63 & 9,6\\ \end{pmatrix} $ und was ist die 3. Spalte der Matrix $F$?

1.Zeile $\left( 8 \quad 12 \quad 17 \right) $

3.Spalte $\left(\begin{array}{c} 17 \\ 84,7 \\ 9,6 \end{array}\right)$





Definition
Grün rufezeichen.png
 $m \times n$ Matrix

$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} $

Die $m\times n$ Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.


Merke
Rotes rufezeichen.png
 Eine quadratische Matrix hat die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten.



Merke
Rotes rufezeichen.png
 Bei der Addition von Matrizen, werden die einzelnen Komponenten miteinander addiert.


Sei die Matrix $ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} $ und die Matrix $ B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} &\dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix} $


dann ist $$A+B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12}+ b_{12} & \dots & a_{1n}+ b_{1n} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22} +b_{22} &\dots & a_{1n}+ b_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1}+ b_{m1} &a_{m2}+ b_{m2} & \dots & a_{mn}+ b_{mn} \end{pmatrix} $$



Bei der $2\times 2$ Matrix schaut das wie folgt aus

$ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} $

$ B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{pmatrix} $

dann ist $ \qquad \qquad \qquad A+B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \\ \end{pmatrix}$


Bsp.png

Addiere die Matrizen $\quad C= \begin{pmatrix} 8 & 6 \\ 0 & -4 \\ \end{pmatrix} \quad $ und $\quad D= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 3 \\ \end{pmatrix}$.

$C+D= \begin{pmatrix} 10 & 5 \\ 5 & -1 \\ \end{pmatrix}$






Merke
Rotes rufezeichen.png
 Bei der Multiplikation mit einem Skalar $k$ (einer reellen Zahl), wird jede Komponente einzeln mit dem Skalar multipliziert.


$ k \cdot A= \begin{pmatrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \dots & k \cdot a_{1n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \dots & k \cdot a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k \cdot a_{m1} &k \cdot a_{m2} & \dots & k \cdot a_{mn} \\ \end{pmatrix} $



Bsp.png

Multipliziere die Matrix $\quad E= \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 9 & 0 \\ \end{pmatrix} \quad $ mit $3$.

$3 \cdot E= \begin{pmatrix} 21 & 6 \\ 27 & 0 \\ \end{pmatrix}$





Definition
Grün rufezeichen.png
 Nullmatrix

Die Nullmatrix sieht wie folgt aus:

$ 0= \begin{pmatrix} 0 & \dots & 0 \\ \vdots & & \vdots \\ 0 & \dots & 0 \\ \end{pmatrix} $


Definition
Grün rufezeichen.png
 Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix hat nur in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) Einsen stehen. Sonst befinden sich \"uberall Nullen. Zudem ist sie ein quadratische Matrix.

$ I_n= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &0 & \dots & 1 \\ \end{pmatrix} $





Bsp.png

Wie sieht die Einheitsmatrix im dreidimensionalen Raum aus?

$I_3= \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 &0 & 1\\ \end{pmatrix} $



Definition
Grün rufezeichen.png
 Transponierte Matrix

Bei einer transponierten Matrix werden die Zeilen und Spalten miteinander vertauscht. Sei $A$ die ursprüngliche Matrix und $A^T$ die transponierte: $A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} &a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} $

dann ist

$A^T= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} &a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} &a_{23} & a_{33} \\ \end{pmatrix} $




Bsp.png

Wie sieht die transponierten Matrizen zu der Matrix $B$ und $C$ aus?\\ $\quad B= \begin{pmatrix} 9 & 4 \\ 654 & 274 \\ \end{pmatrix} $ $\quad C= \begin{pmatrix} 65 & 4,7 &6 &9 &89 \\ 8,3 & 2,4 & 7 & 3&1 \\ 4 & 2 & 0 & 7,9 & 5\\ \end{pmatrix} $

$\quad B^T= \begin{pmatrix} 9 & 654 \\ 4 & 274 \\ \end{pmatrix} $ \\

$\quad C^T= \begin{pmatrix} 65 & 8,3 & 4\\ 4,7 & 2,4 & 2\\ 6 & 7& 0 \\ 9& 3 & 7,9\\ 89 & 1 & 5\\ \end{pmatrix} $





{{Vorlage:Definition|1=Matrizenmultiplikation

\url{https://www.youtube.com/watch?v=5UIzHozX2hw}


Zwei Matrizen werden nach der Regel: Zeile mal Spalte multipliziert. Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, das heißt: $A\cdot B \neq B \cdot A$. Um $A \cdot B =C$ zu erhalten muss die Anzahl der Spalten von $A$ die selbe sein wie die Anzahl der Zeilen von $B$. Also wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist, so $B$ eine $n \times p$ Matrix sein, wobei $m$ und $p$ beliebig sind und $n$ bei $A$ und $B$ die gleichen sein müssen. Au\"serdem ist dann $C$ eine $m \times p$ Matrix, sie hat also dieselbe Anzahl der Zeilen wie die Matrix $A$ und die selbe Spaltenanzahl wie die Matrix $B$. 

}


== Überschrift 3 == Gozinto-Graphen


Matura-Aufgaben

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