Inhalt:Differenzieren:Graphisches Bestimmen von f': Unterschied zwischen den Versionen
Aus Matura Wiki
| Zeile 3: | Zeile 3: | ||
Das folgende Applet zeigt dir den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitungsfunktion. | Das folgende Applet zeigt dir den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitungsfunktion. | ||
| − | Verschiebe dazu den Punkt P in der linken Graphik: | + | Verschiebe dazu den Punkt $P$ in der linken Graphik: |
<ggb_applet width="950" height="500" version="5.0" id="92514" /> | <ggb_applet width="950" height="500" version="5.0" id="92514" /> | ||
{{Vorlage:Ausklapp|1= '''Aufgaben zu diesem Applet''' |2= | {{Vorlage:Ausklapp|1= '''Aufgaben zu diesem Applet''' |2= | ||
| − | Betrachte die linke Graphik: Der Wert k zeigt die Steigung der Tangente im Punkt P an. | + | Betrachte die linke Graphik: Der Wert $k$ zeigt die Steigung der Tangente im Punkt $P$ an. |
| − | 1. Verschieben Sie den Punkt P. Auf der rechten Graphik wird laufend die Steigung k beim jeweiligen x-Wert von P abgetragen. Verschieben Sie P solange, bis in der rechten Graphik ein schöner Funktionsgraph zu sehen ist. Dieser Graph ist der Graph von $f'(x)$ (=1. Ableitung von x) | + | 1. Verschieben Sie den Punkt $P$. Auf der rechten Graphik wird laufend die Steigung $k$ beim jeweiligen $x$-Wert von $P$ abgetragen. Verschieben Sie $P$ solange, bis in der rechten Graphik ein schöner Funktionsgraph zu sehen ist. Dieser Graph ist der Graph von $f'(x)$ (=1. Ableitung von $x$). |
| − | 2. Geben Sie eine andere Funktion im Eingabefeld ein. Versuchen Sie den Graphen von $f'(x)$ zuerst zu erraten und zeichnen Sie ihn erst dann durch | + | 2. Geben Sie eine andere Funktion im Eingabefeld ein. Versuchen Sie den Graphen von $f'(x)$ zuerst zu erraten und zeichnen Sie ihn erst dann durch Verschieben des Punktes $P$. |
Funktionen zum Eintippen: <br> | Funktionen zum Eintippen: <br> | ||
| Zeile 33: | Zeile 33: | ||
|- | |- | ||
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend | | 3. $f(x)$ ist monoton wachsend | ||
| − | |$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse. | + | |$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d. h. oberhalb der $x$-Achse. |
|- | |- | ||
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend | | 4. $f(x)$ ist monoton fallend | ||
| − | |$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse. | + | |$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d. h. unterhalb der $x$-Achse. |
|} | |} | ||
| Zeile 43: | Zeile 43: | ||
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6"> | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6"> | ||
<p style="color:#CAE1FF> | <p style="color:#CAE1FF> | ||
| − | Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$ | + | Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$. |
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]] | [[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]] | ||
</p> | </p> | ||
| Zeile 49: | Zeile 49: | ||
{| border="1" | {| border="1" | ||
| − | |[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$) ein.]] | + | |[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (= Extremwerte von $f(x)$) ein.]] |
| − | |[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen | + | |[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (= Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entsprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]] |
|- | |- | ||
| − | |[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des | + | |[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonieverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]] |
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]] | | [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]] | ||
|} | |} | ||
| Zeile 74: | Zeile 74: | ||
| − | [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion] | + | [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion.] |
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [https://www.geogebra.org/m/XdxWp5rR Ableitungsquiz] | * [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [https://www.geogebra.org/m/XdxWp5rR Ableitungsquiz] | ||
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/ablerkennen.html Ableitungspuzzle (mathe online)] | * [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/ablerkennen.html Ableitungspuzzle (mathe online)] | ||
Version vom 27. Dezember 2018, 21:14 Uhr
Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch Betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ graphisch bestimmt werden.
Das folgende Applet zeigt dir den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitungsfunktion. Verschiebe dazu den Punkt $P$ in der linken Graphik:
Aufgaben zu diesem Applet
Betrachte die linke Graphik: Der Wert $k$ zeigt die Steigung der Tangente im Punkt $P$ an.
1. Verschieben Sie den Punkt $P$. Auf der rechten Graphik wird laufend die Steigung $k$ beim jeweiligen $x$-Wert von $P$ abgetragen. Verschieben Sie $P$ solange, bis in der rechten Graphik ein schöner Funktionsgraph zu sehen ist. Dieser Graph ist der Graph von $f'(x)$ (=1. Ableitung von $x$).
2. Geben Sie eine andere Funktion im Eingabefeld ein. Versuchen Sie den Graphen von $f'(x)$ zuerst zu erraten und zeichnen Sie ihn erst dann durch Verschieben des Punktes $P$.
Funktionen zum Eintippen:
a) $f(x)=1.5x^3-4x^2$
b) $f(x)=0.05x^4-0.225x^3-0.325x^2+0.9x+0.5$
c) $f(x)=3x$
|
$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: |
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine Extremstelle | $\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$ |
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen Wendepunkt | $\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt. |
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend | $\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d. h. oberhalb der $x$-Achse. |
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend | $\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d. h. unterhalb der $x$-Achse. |
Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$.
Überprüfe dein Wissen
$Aha!$ Dieses Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion.
