Der Logarithmus (2.3.): Unterschied zwischen den Versionen
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| + | * Es ist egal, ob du $\ln$ (Logarithmus zur Basis $e$) oder $\lg$ (Logarithmus zur Basis 10) verwendest. Wichtig ist nur, dass du in einer Rechnung die Basis nicht mischt. | ||
| + | * Rechentechnisch es es ratsam $\ln$ zu verwenden, wenn die $e$ als Basis vorkommt und $\lg$ zu verwenden, wenn 10 als Basis vorkommt. Begründung liegt in Regel 1.: $\lg(10)=\ln(e)=1$ }} | ||
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| + | \ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&(\lambda\cdot t)\cdot \ln(e)& \vert \ln(e)=1\\ | ||
| + | \ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&\lambda\cdot t & \vert :\lambda \\ | ||
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Version vom 15. Februar 2016, 10:18 Uhr
Den Logarithmus brauchen wir, um Gleichungen der Form $a^x=b$ nach x auflösen zu können.
Inhaltsverzeichnis
Der Logarithmus ist der Exponent
Der Logarithmus ist eigentlich nur eine Bezeichnung für den Exponenten (Hochzahl) einer bestimmten Basis a, mit dem eine bestimmte Zahl b berechnet wird:
$$\color{red}{a}^{\color{green}{x}}=\color{blue}{b} $$ dann heißt $$\color{green}{x}=\log_{\color{red}{a}} \color{blue}{b}$$ $$\textrm{ausgesprochen: }"\color{green}{x}\ ist\ der\ Logarithmus\ zur\ \color{red}{Basis\ a}\ \color{blue}{von\ b} "$$
Beispiele
- $2^x=8 \ \rightarrow \ x=\log_2 8 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 2 von 8") und natürlich gilt $x=3$ da $2^3=8$.
- $5^x=25 \rightarrow \ x=\log_5 25 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 5 von 25") und natürlich gilt $x=2$ da $5^2=25$ ist.
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Der Logarithmus zur Basis $a$ von der Zahl $b$ ist die Bezeichnung für den Exponenten. D.h.
$$x=\log_a b \Leftrightarrow a^x=b$$ |
Berechnung mithilfe der Potenzregeln
Zwei besondere Basen
Logarithmus zur Basis 10
Logarithmus zur Basis $e$
Rechengregeln des Logarithmus
Mithilfe der Rechenregeln für Potenzen kommt man auf die folgenden Regeln für den Logarithmus:
| Regel | Formal | Begründung und Beispiel |
|---|---|---|
| 1. "Hoch 1-Regel" | $$\log_a a=1$$ | weil $a^1=a$. Z.B.: $$\ln e=1$$ oder $$\lg 10=1$$ |
| 2. "Hoch 0"-Regel | $$\log_a 1=0$$ | weil $a^0=1$ für alle $a\neq 0$. Z.B.: $$\ln 1=0$$ |
| 3. Produktregel | $$\log_a (u\cdot v)=\log_a u+\log_a v$$ | $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$ |
| 4. Quotientenregel | $$\log_a \left(\frac{u}{v}\right)=\log_a u-\log_a v$$ | $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$ |
| 5. Exponentenregel | $$\log_a u^r = r\cdot \log_a u$$ | $\left(a^x\right)^r=a^{r\cdot x}$ |
| 6. "Negativ-Regel" | $$\log_a (u\pm v)=log_a (u\pm v)$$ | Bei einer Summe oder Differenz kann man nichts verändern! |
| 7. Umrechnung im Taschenrechner | $$\log_a u =\frac{\log_b u}{\log_b a}$$ | Mit dieser Formel lassen sich Logarithmen mit beliebiger Basis im TR berechnen. Z.B.:
$$\log_2 1024 = \frac{\ln 1024 }{\ln 2}=10$$ |
Musterbeispiele
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Hinweis
|
Forme durch Verwenden der Rechenregeln des Logarithmus auf:
$$\ln\left(a^3\cdot b\right)$$
$$\ln\left(a^3\cdot b\right)\underbrace{=}_{3.Regel} \ln(a^3)+ \ln(b)\underbrace{=}_{5.Regel} 3\cdot \ln(a)+\ln(b)$$
$$\lg\left(\frac{a^5\cdot \sqrt[3]{b} }{c^2} \right)$$
$\begin{align}
\lg\left(\frac{a^5\cdot \sqrt[3]{b} }{c^2} \right)&\underbrace{=}_{4.}& \lg(a^5\cdot b^\frac{1}{3} )-\lg(c^2)\\
& \underbrace{=}_{3.}& \lg(a^5)+lg( b^\frac{1}{3} )-lg(c^2)\\
& \underbrace{=}_{5}& 5\cdot \lg(a)+\frac{1}{3}\cdot \lg(b)-2\cdot \lg(c)
\end{align}$
$$\lg\sqrt[5]{\left(\frac{(a^2-b^2)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right)}$$
$\begin{align}
\lg\sqrt[5]{\left(\frac{(a^2-b^2)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right) } &\underbrace{=}_{umformen}& \lg \left(\frac{(a-b)\cdot (a+b)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right)^{\frac{1}{5} }\\
&\underbrace{=}_{5.+kürzen}& \frac{1}{5}\lg \left(\frac{(a-b)\cdot c^3}{10^{-3} } \right)\\
&\underbrace{=}_{4.}& \frac{1}{5}\left[ \lg\left((a-b)\cdot c^3\right)-\lg(10^{-3})\right]\\
&\underbrace{=}_{3.}&\frac{1}{5}\left[ \lg(a-b)+ \lg c^3-\lg(10^{-3})\right]\\
&\underbrace{=}_{ 5.}&\frac{1}{5}\left[ \lg(a-b)+ 3\cdot\lg c-(-3)\cdot\lg(10)\right]\\
&\underbrace{=}_{\lg(10)=1} & \frac{1}{5}\lg(a-b)+\frac{3}{5}\cdot \lg(c)+\frac{3}{5}
\end{align}$
Gleichungen mithilfe des Logarithmus lösen
Für Anwendungsbeispiele ist vor allem die 5. Regel von Bedeutung, da sie es uns erlaubt, Gleichungen zu lösen, indenen die Variable im Exponenten steht.
$$5^x=13$$
Bestimme den Wert von x!
Allein durch einfaches abschätzen wissen wir schon, dass x zwischen 1 und 2 liegen muss (da $5^1=5$ und $5^2=25$). Den genauen Wert können wir aber erst mit dem Logarithmus bestimmen.
$$5^x=13 \ \ \vert \lg(\ )$$ $$\lg(5^x)=\lg(13)\ \ \vert 5.\ Regel$$ $$x\cdot \lg(5)=\lg(13)\ \ \vert :\lg(5)$$ $$x=\frac{\lg(13)}{\lg(5)}=1.59$$
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* Wende den Logarithmus erst so spät wie möglich an! So gehst du den häufigsten Fehlern aus dem Weg!
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$$N_t=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}$$
Stelle $t$ frei!
$\begin{align}
N_t=&N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}& \vert :N_0\\
\frac{N_t}{N_0}=&e^{\lambda\cdot t}& \vert \ln(\ )\\
\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&\ln\left(e^{\lambda\cdot t}\right)& \vert 5.\ Regel\\
\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&(\lambda\cdot t)\cdot \ln(e)& \vert \ln(e)=1\\
\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&\lambda\cdot t & \vert :\lambda \\
\frac{\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right) }{\lambda}=&t&
\end{align}$
Zusammenfassung
Beispiele
kommt bald
