Zins- und Zinseszinsrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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Einfaches Beispiel: | Einfaches Beispiel: | ||
| − | € 30 Euro werden mit einem Zinssatz 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''. | + | € 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''. |
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Lösung: | Lösung: | ||
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* $n = 1 $ | * $n = 1 $ | ||
* $K_1 = $? | * $K_1 = $? | ||
| − | * $ | + | * $i_{eff} = 5$% |
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$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$ | $$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$ | ||
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Beispiel: | Beispiel: | ||
| − | € 30 sollen 4 Jahre lang mit 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital? | + | € 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital? |
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Lösung | Lösung | ||
* $K_0=30$ | * $K_0=30$ | ||
* $K_n=$ ? | * $K_n=$ ? | ||
| − | * $ | + | * $i_{eff}=5$% |
* $n=4$ | * $n=4$ | ||
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| − | $$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } | + | $$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$ |
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$ | $$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$ | ||
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$ | $$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$ | ||
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| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt: | | Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt: | ||
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| − | $$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{ | + | $$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$ |
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| + | <span style="color:#A020F0> '''Rechenweg''' </span> | ||
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* $K_0=75$ | * $K_0=75$ | ||
* $n=4 Monate = \frac{4}{12}$ Jahre. | * $n=4 Monate = \frac{4}{12}$ Jahre. | ||
* $K_\frac{4}{12}=$? | * $K_\frac{4}{12}=$? | ||
* $i=4$% | * $i=4$% | ||
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$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$ | $$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$ | ||
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$ | $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$ | ||
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$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$ | $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$ | ||
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$ | $$ K_\frac{4}{12}=76 $$ | ||
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| − | ''' | + | </div> |
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| + | '''Lösung:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76. | ||
== Zinseszinsen == | == Zinseszinsen == | ||
Version vom 1. Januar 2014, 11:45 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Warum gibt es Zinsen?
Begriffe
- $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
- $n \dots $ Dauer der Verzinsung
- $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
- $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
- $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
- $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
Einfache Zinsen
Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
- das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
- alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung
| Merke: Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit. |
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt.
Lösung:
- $K_0 =30 $
- $n = 1 $
- $K_1 = $?
- $i_{eff} = 5$%
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
| Merke: Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden bei der einfachen Verzinsung die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. |
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
Lösung
- $K_0=30$
- $K_n=$ ?
- $i_{eff}=5$%
- $n=4$
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
| Formel für die einfache Verzinsung |
|---|
| Sei n die Veranlagungsdauer in Jahren, dann gilt: |
| $$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht: $$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$ |
Musterbeispiel für die einfache Verzinsung
Aufgabe: Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitlas nach der Veranlagungsdauer!
Rechenweg
- $K_0=75$
- $n=4 Monate = \frac{4}{12}$ Jahre.
- $K_\frac{4}{12}=$?
- $i=4$%
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
Lösung: Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
