Zins- und Zinseszinsrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit. | |'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit. | ||
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Einfaches Beispiel: | Einfaches Beispiel: | ||
€ 30 Euro werden mit 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr. | € 30 Euro werden mit 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr. | ||
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Lösung: | Lösung: | ||
* $K_0 =30 $ | * $K_0 =30 $ | ||
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* $K_1 = $? | * $K_1 = $? | ||
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$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$ | $$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$ | ||
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$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$ | $$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$ | ||
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$ | $$ K_1 = 30 + 1.5 $$ | ||
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$ | $$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$ | ||
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Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5. | Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5. | ||
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|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. | |'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. | ||
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Beispiel: | Beispiel: | ||
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital? | € 30 sollen 4 Jahre lang mit 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital? | ||
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Lösung | Lösung | ||
* $K_0=30$ | * $K_0=30$ | ||
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* $i=5$% | * $i=5$% | ||
* $n=4$ | * $n=4$ | ||
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$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i\% \textrm{ von } K_0 $$ | $$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i\% \textrm{ von } K_0 $$ | ||
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$ | $$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$ | ||
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$$ K_n=30+6$$ | $$ K_n=30+6$$ | ||
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$ | $$ \underline{\underline{K_n=36}}$$ | ||
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Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36. | Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36. | ||
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Version vom 30. Dezember 2013, 17:04 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Warum gibt es Zinsen?
Begriffe
- $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
- $n \dots $ Dauer der Verzinsung
- $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
- $i \dots $ Zinssatz (z.B. 5%)
- $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100}$
Einfache Zinsen
Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung
| Merke: Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit. |
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr.
Lösung:
- $K_0 =30 $
- $n = 1 $
- $K_1 = $?
- $i = 5$%
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
| Merke: Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden bei der einfachen Verzinsung die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. |
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
Lösung
- $K_0=30$
- $K_n=$ ?
- $i=5$%
- $n=4$
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
| Formel für die einfache Verzinsung |
|---|
| $$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht: $$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$ |
