Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. | Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. | ||
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt! | Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt! | ||
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Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes. | Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes. | ||
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Version vom 20. September 2015, 21:26 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Koordinatensystem
Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme ganz essentiell. Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:
- die x-Achse (waagrecht) und
- die y-Achse (senkrecht)
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sog. Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Wo ein jeweiliger Quadrant liegt, kannst du mit Hilfe des Bildes rechts erkennen.
Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).
Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt: An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.
Im dreidimensionalen Raum kommt dann einfach noch eine dritte - die z- - Achse dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.
Punkte
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild zB. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).
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Einen allgemeinen Punkt schreibt man an als $P(x_1/x_2/.../x_n)$ ($\mathbb{R^n}$) bzw. $P(x/y)$ ($\mathbb{R^2}$) oder $P(x/y/z)$ ($\mathbb{R^3}$).
Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet. |
Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:
- A(2/0)
- B(0/-2)
- C(-1/2)
Vektoren
Vektoren kann man sich wie Pfeile vorstellen. Sie besitzen eine Länge (Betrag) und eine Richtung. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Stellung im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:
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Einen allgemeinen Vektor schreibt man an als $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^n}$) bzw. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^3}$).
Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet. |
Ortsvektoren
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:
Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
Addition und Subtraktion
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: "Spitze minus Schaft"
Im Beispiel rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).
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Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: $\left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm x_2 \\ y_1 \pm y_2 \end{array} \right)$ |
Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$
Beachte außerdem:
- Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
- $\vec{AB} = -\vec{BA}$
Produkt eines Vektors mit einem Skalar
Dieses Thema ist zwar ziemlich einfach, soll aber der Vollständigkeit halber nicht ausgelassen werden. Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einem Skalar $k$ multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:
$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x \\ k \cdot y \end{array} \right)$
Dies gilt analog in allen Dimensionen!
Wie Vektoren zueinander stehen
Vektoren können rein gar nichts miteinander zu tun haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen (wie in den Bildern 1-4 unten), rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings genauso möglich.
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Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile!
Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle! $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$ im Bild rechts unten sind derselbe Vektor! |
Wir sehen, dass in Bild 1 und 2 die Vektoren parallel zueinander sind. Aber wie können wir das durch Rechnen herausfinden? Ganz einfach:
2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn sie linear abhängig voneinander sind!
Linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann.
- Bild 1: $ \ 2\cdot \vec{v} = \vec{u} \ \Rightarrow l.a. \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
- Bild 2: $ \ -1\cdot \vec{v} = \vec{w} \ \Rightarrow l.a. \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{w}$
- Bild 3: $ \ \nexists \ k : k \cdot \vec{v} = \vec{t} \ \Rightarrow l.u. \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{t}$
- Bild 4: $ \ \vec{v_1} = \vec{v_2} = \vec{v} \ \Rightarrow \vec{v_1} \parallel \vec{v_2}$
für linear unabhängige Vektoren:
Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.
Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.
Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:
$$II: 5k = 3$$
Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2. Setzen wir dieses k in die zweite Gleichung ein, erhalten wir eine falsche Aussage. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren linear unabhängig und somit nicht parallel zueinander sind.
Betrag und Einheitsvektor
Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch Betrag eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:
Der Einheitsvektor, oder auch Norm eines Vektors genannt, ist nun nichts anderes als der Vektor dividiert durch seine Länge. Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt (deshalb "Norm")!
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.
In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:
Vektoren bestimmter Länge
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.
Mittelpunkt einer Strecke
Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen: Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:
Inhaltsverzeichnis
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab Grundlagen der Vektorrechnung.
Vektoren
Normalvektoren
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren.
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Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor. |
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.
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Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt. |
Orthogonalitätskriterium
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Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$
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Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Notmalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:
Geraden
Darstellungsformen
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.
Parameterdarstellung
wobei
- $X \in g$ ist ein beliebiger Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
- $P \in g$ ist ein bekannter Punkt auf der Geraden
- $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
- $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter Grundlagen der Vektorrechnung.)
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g = \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$
Normalvektorform
Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:
1. Multiplikation mit Normalvektor: Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:
Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist
dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).
2. Elimination des Parameters:
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g = \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige Normalvektorform.
Allgemeine Geradengleichung
Um auf diese Form zu kommen, muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.
Lagebeziehungen zwischen Geraden
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$
- ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
- parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
- einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
Sind uns 2 Geraden in Parameterdarstellung gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren.
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel.
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!
Sind die 2 Geraden in der allgemeinen Geradenform gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.
Um mehr über das Lösen von Gleichungssystemen zu erfahren, klicke hier
--Melissa Lajtos (Diskussion) 23:44, 31. Aug. 2015 (CEST)
