Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Koordinatensystem

Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme ganz essentiell. Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

• die x-Achse (waagrecht) und
• die y-Achse (senkrecht)

Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sog. Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Wo ein jeweiliger Quadrant liegt, kannst du mit Hilfe des Bildes rechts erkennen. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt: An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt dann einfach noch eine dritte - die z- - Achse dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

Punkte

In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild zB. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

Punkte im $\mathbb{R^2}$

Merke

Einen allgemeinen Punkt schreibt man an als $P(x_1/x_2/.../x_n)$ ($\mathbb{R^n}$) bzw. $P(x/y)$ ($\mathbb{R^2}$) oder $P(x/y/z)$ ($\mathbb{R^3}$). Die erste Koordinate entspricht also der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate. Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

• A(2/0)
• B(0/-2)
• C(-1/2)

Vektoren

Vektoren kann man sich wie Pfeile vorstellen. Sie besitzen eine Länge (Betrag) und eine Richtung. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Stellung im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

Merke

Einen allgemeinen Vektor schreibt man an als $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^n}$) bzw. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^3}$). Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.

Ortsvektoren

Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

Addition und Subtraktion

Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: "Spitze minus Schaft"
Im Beispiel rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

"Spitze minus Schaft"

Merke

Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: $\left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm x_2 \\ y_1 \pm y_2 \end{array} \right)$

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

• Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
• $\vec{AB} = -\vec{BA}$

Produkt eines Vektors mit einem Skalar

Dieses Thema ist zwar ziemlich einfach, soll aber der Vollständigkeit halber nicht ausgelassen werden. Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einem Skalar $k$ multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x \\ k \cdot y \end{array} \right)$

Dies gilt analog in allen Dimensionen!

Wie Vektoren zueinander stehen

Vektoren können rein gar nichts miteinander zu tun haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen (wie in den Bildern 1-4 unten), rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings genauso möglich.

Definition

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile! Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle! $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$ im Bild rechts unten sind derselbe Vektor!

1: unterschiedliche Längen

2: unterschiedliche Orientierung

3: unterschiedliche Richtung

4: ident

Wir sehen, dass in Bild 1 und 2 die Vektoren parallel zueinander sind. Aber wie können wir das durch Rechnen herausfinden? Ganz einfach:

2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn sie linear abhängig voneinander sind!

Linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann.

• Bild 1: $ \ 2\cdot \vec{v} = \vec{u} \ \Rightarrow l.a. \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
• Bild 2: $ \ -1\cdot \vec{v} = \vec{w} \ \Rightarrow l.a. \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{w}$
• Bild 3: $ \ \nexists \ k : k \cdot \vec{v} = \vec{t} \ \Rightarrow l.u. \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{t}$
• Bild 4: $ \ \vec{v_1} = \vec{v_2} = \vec{v} \ \Rightarrow \vec{v_1} \parallel \vec{v_2}$

Betrag und Einheitsvektor

Betrag eines Vektors; Einheitsvektor

Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch Betrag eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

Der Einheitsvektor, oder auch Norm eines Vektors genannt, ist nun nichts anderes als der Vektor dividiert durch seine Länge. Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt (deshalb "Norm")!

Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

Vektoren bestimmter Länge

Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

Mittelpunkt einer Strecke

Mittelpunkt M der Strecke AB

Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen: Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also: