Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen: Unterschied zwischen den Versionen

• $f(x)\geq 0 $ und
• $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot dx=1$ (d.h. die Fläche unterhalb der Dichtefunktion ist 1).

$$F(x)=P(X\leq x)= \int_{-\infty}^{x} f(t)\cdot dt$$, die die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert $\leq x$ annimmt, angibt.

$$P(a\leq X\leq b)= \int_{a}^{b} f(x)\cdot dx = F(b)-F(a)$$

• $E(x)=\mu=\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f(x)\cdot dx$
• $\sigma =\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2 f(x)\cdot dx} |} Bsp mit einer Funktion Eine der wichtigsten stetigen Verteilungsfunktionen ist die == Normalverteilung == {| border ="1" cellpadding="10" | {| | '''Definition''' |- | [[Datei:Grün rufezeichen.png|center]] |} |Eine stetige Zufallsvariable ist '''normalverteilt mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ (kurz: $N(\mu ;\sigma)$-verteilt)''', wenn für die Dichtefunktion $f$ gilt: UNIQf7259d03412f4d27-MathJax-3-QINU |} Die Dichtefunktion der Normalverteilung wird aufgrund ihrer Form „Gaußschen Glockenkurve“ genannt. '''Eigenschaften des Graphen derDichtefunktion :''' * Die Glockenkurve ist symmetrisch zum Erwartungswert $\mu$, bei dem Sie auch ihren Hochpunkt hat. * Die beiden Wendepunkte der Glockenkurve befinden sich bei $\mu -\sigma$ und $\mu +\sigma$ * Im Intervall $[$\mu -\sigma ; \mu -\sigma]$ befinden sich ca. 68 % aller Werte.
• Sie hat als Assymptote die x-Achse und es gilt $\lim_{x\rightarrow \pm \infty} =0$
• Sie erfüllt alle wichtigen Eigensachften einer Dichtefunktion:

$f(x)\geq 0 $ und

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot dx=1$ (d.h. die Fläche unterhalb der Dichtefunktion ist 1).

Die Normalverteilung ist deshalb so wichtig, da es in der Natur und im Alltag sehr viele Zuvallsvariablen gibt, die eine solche Verteilung aufweisen und somit eine Dichtefunktion besitzen, deren Graph glockenförmig ist.