Trigonometrie (2.12 und 3.10): Unterschied zwischen den Versionen

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: Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]
 
: Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]
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* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)

Version vom 9. Juli 2014, 16:50 Uhr

In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)

Begriffe

rechtwinkliges Dreieck

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck, bestehend aus der Hypotenuse (=längste Seite des rechtw. Dreiecks) und den beiden Katheten. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:

  • die Gegenkathete GK liegt $\beta$ gegenüber
  • die Ankathete AK liegt an $\beta$ an.



Sinus, Cosinus und Tangens

[Schau dieses Arbeitsblatt an]. Hierbei lernst du die Bedeutung von Sinus, Cosinus und Tangens.


Definition

  • Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als: $sin\ \alpha = \frac{GK}{H}$
  • Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als: $cos\ \alpha = \frac{AK}{H}$
  • Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als: $tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}$


Wichtig! Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im rechtwinkligen Dreieck!

Weitere wichtige Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck

allgemeines Dreieck
rechtwinkliges Dreieck allgemeines Dreieck
Winkelsumme $180°=\alpha+\beta+\gamma$ $180°=\alpha+\beta+\gamma$
Pythagoras $H^2=GK^2+AK^2$ gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
Flächeninhalt $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$ $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
Sinussatz $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
Cosinussatz $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$



Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis

Sinusfunktion, Cosinusfunktion, Tangensfunktion

Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck

Beispiele

  • Zimmerei (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
Achtung! Aufgabe b lernst du erst in der 5. Klasse
  • Radausflug (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
Siehe auch
* Beschreibende Statistik
* Exponentielle Abnahme
Siehe auch Formeln aufstellen
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