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| + | #WEITERLEITUNG[[Exponentialfunktionen]] |
| − | Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
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| − | | '''Definition:'''
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| − | |<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktion | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
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| − | $$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
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| − | oder
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| − | $$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+, \lambda \in \mathbb{R} $$
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| − | </p>
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| − | '''Hinweise'''
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| − | * $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
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| − | * $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen
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| − | == Graph der Exponentialfunktion ==
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| − | Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph:
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| − | |'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
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| − | Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
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| − | $f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
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| − | (mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
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| − | | [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
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| − | | '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
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| − | | für $a>1$ oder $\lambda>0$
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| − | ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
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| − | |[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
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| − | |für $0<a<1$ (d.h. wenn a zwischen 0 und 1 ist) oder $\lambda<0$
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| − | |ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
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| − | | [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
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| − | Hier nun eine Learning-App oder GeoGebra-Quiz dazu (Graph bestimmen)
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| − | == Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==
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| − | [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|right]]
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| − | * Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
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| − | * Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
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| − | * Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
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| − | Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
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| − | == Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
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| − | Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.
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| − | === 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===
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| − | '''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.
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| − | '''Lösung:''' </span>
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| − | Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
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| − | | $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
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| − | $\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)
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| − | $\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$
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| − | Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$
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| − | === 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===
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| − | '''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.
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| − | '''Lösung:''' </span>
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| − | Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
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| − | !| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
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| − | $\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$
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| − | $\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$
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| − | Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
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| − | Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
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| − | $I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
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| − | und setzen dies nun in II ein:
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| − | $II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
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| − | $$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
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| − | $$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
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| − | $$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
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| − | $$II: \ b^2=1 $$
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| − | $$II: \ b=\pm 1$$
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| − | Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$
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| − | Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$
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| − | Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$
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| − | === 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===
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| − | Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b
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| − | <span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>
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| − | '''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)
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| − | '''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
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| − | $$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
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| − | $$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
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| − | Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
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| − | $$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
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| − | $$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
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| − | $$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
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| − | $$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
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| − | $$\underline{1.1=\lambda}$$
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| − | Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$
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| − | [[Kategorie Funktionen]]
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