|
|
| (47 dazwischenliegende Versionen von 8 Benutzern werden nicht angezeigt) |
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| − | {| border ="1"
| + | #WEITERLEITUNG[[Exponentialfunktionen]] |
| − | Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | '''Definition:'''
| + | |
| − | | + | |
| − | |<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktion | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
| + | |
| − | $$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
| + | |
| − | oder
| + | |
| − | $$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+, \lambda \in \mathbb{R} $$
| + | |
| − | </p>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''Hinweise'''
| + | |
| − | * $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
| + | |
| − | * $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | == Graph der Exponentialfunktion ==
| + | |
| − | Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph:
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | {| border=“0“
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |'''b''' gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.
| + | |
| − | Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
| + | |
| − | $f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
| + | |
| − | (mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| + | |
| − | | [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | == Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==
| + | |
| − | * Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
| + | |
| − | * Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1).
| + | |
| − | * Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verendet.
| + | |
| − | Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | == Beispiele: Bestimmung der Funktionsgleichung ==
| + | |
| − | Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.
| + | |
| − | | + | |
| − | === 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===
| + | |
| − | | + | |
| − |
| + | |
| − | '''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | <span style="color:#A020F0>
| + | |
| − | '''Lösung:''' </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| + | |
| − | Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |
| + | |
| − | | + | |
| − | {| border="1"
| + | |
| − | !|x
| + | |
| − | !|y
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |0
| + | |
| − | |3
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |2
| + | |
| − | |12
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | !| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
| + | |
| − | $\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)
| + | |
| − | | + | |
| − | $\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$
| + | |
| − | | + | |
| − | |}
| + | |
| − | Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | === 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − |
| + | |
| − | '''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | <span style="color:#A020F0>
| + | |
| − | '''Lösung:''' </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| + | |
| − | Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |
| + | |
| − | | + | |
| − | {| border="1"
| + | |
| − | !|x
| + | |
| − | !|y
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |1
| + | |
| − | |4
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |2
| + | |
| − | |16
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | !| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
| + | |
| − | $\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$
| + | |
| − | | + | |
| − | $\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$
| + | |
| − | | + | |
| − | |}
| + | |
| − | Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
| + | |
| − | Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
| + | |
| − | $I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
| + | |
| − | und setzen dies nun in II ein:
| + | |
| − | | + | |
| − | $II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
| + | |
| − | $$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
| + | |
| − | $$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
| + | |
| − | $$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
| + | |
| − | $$II: \ b^2=1 $$
| + | |
| − | $$II: \ b=\pm 1$$
| + | |
| − | Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$
| + | |
| − | | + | |
| − | Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | === 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===
| + | |
| − | | + | |
| − | Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b
| + | |
| − | | + | |
| − | Lösung:
| + | |
| − | 1. Punkt (0|3): Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)
| + | |
| − | 2. Punkt (2|27): Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
| + | |
| − | $$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
| + | |
| − | $$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
| + | |
| − | Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
| + | |
| − | $$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
| + | |
| − | $$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
| + | |
| − | $$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 $$
| + | |
| − | $$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
| + | |
| − | $$\underline{1.1=\lambda}$$
| + | |
| − | | + | |
| − | Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$
| + | |
| − | [[Kategorie Funktionen]]
| + | |
