Äquivalenzumformungen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Vorlage:Definition|1= Zwei Gleichungen heißen '''äquivalent''' (= gleichwertig), wenn sie die '''gleiche Lösungsmenge''' haben.}} | {{Vorlage:Definition|1= Zwei Gleichungen heißen '''äquivalent''' (= gleichwertig), wenn sie die '''gleiche Lösungsmenge''' haben.}} | ||
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Mithilfe von sogenannten „Äquivalenzumformungen“ können wir nun eine Gleichung in eine dazu äquivalente Gleichung umformen, ohne dabei die Lösungsmenge zu verändern. | Mithilfe von sogenannten „Äquivalenzumformungen“ können wir nun eine Gleichung in eine dazu äquivalente Gleichung umformen, ohne dabei die Lösungsmenge zu verändern. | ||
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{{Vorlage:Merke|1= Folgende Umformungen verändern die Lösungsmenge einer Gleichung nicht, wenn sie auf beiden Seiten gleich angewendet werden: | {{Vorlage:Merke|1= Folgende Umformungen verändern die Lösungsmenge einer Gleichung nicht, wenn sie auf beiden Seiten gleich angewendet werden: | ||
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* Addition bzw. Subtraktion einer Zahl | * Addition bzw. Subtraktion einer Zahl | ||
* Multiplikation bzw. Division mit einer Zahl ungleich Null | * Multiplikation bzw. Division mit einer Zahl ungleich Null | ||
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= Übungen = | = Übungen = | ||
Unter folgendem Link findest du interaktive Übungen zum Umformen von Gleichungen: | Unter folgendem Link findest du interaktive Übungen zum Umformen von Gleichungen: | ||
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| − | + | Gegeben ist die Gleichung $x^2=4$. | |
| − | + | :::: Wurzelziehen auf beiden Seiten ergibt $x=\pm 2$. | |
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:::: Daraus lässt sich leicht die Lösungsmenge ablesen: $\mathbb{L} ={\{-2;2\}}$ | :::: Daraus lässt sich leicht die Lösungsmenge ablesen: $\mathbb{L} ={\{-2;2\}}$ | ||
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| − | + | ==Weiterführende Themenbereiche== | |
| + | * [[Binomische Formeln]] | ||
| + | * [[Gleichung]] | ||
| + | * [[Ungleichung]] | ||
| + | |||
| + | [[Kategorie: Algebra und Geometrie]] | ||
Aktuelle Version vom 2. Februar 2021, 18:28 Uhr
Äquivalenzumformungen
Äquivalenzumformungen werden benötigt um Gleichungen zu lösen.
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Zwei Gleichungen heißen äquivalent (= gleichwertig), wenn sie die gleiche Lösungsmenge haben. |
Mithilfe von sogenannten „Äquivalenzumformungen“ können wir nun eine Gleichung in eine dazu äquivalente Gleichung umformen, ohne dabei die Lösungsmenge zu verändern.
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Folgende Umformungen verändern die Lösungsmenge einer Gleichung nicht, wenn sie auf beiden Seiten gleich angewendet werden:
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Folgende Gleichung ist gegeben: $4x-5=2x-8$
- Äquivalente Gleichungen:
Seitentausch: $$2x-8=4x-5$$ Subtraktion von $2x$ ergibt: $$-8=2x-5$$ Addition von $5$ ergibt: $$-3=2x$$ Division durch $2$ ergibt: $$-1.5=x$$
- Daraus lässt sich leicht die Lösungsmenge ablesen: $\mathbb{L} ={\{-1.5\}}$
Unter folgendem Link findest du interaktive Übungen zum Umformen von Gleichungen:
Vertiefung: Umformen bei Wurzel und Hochzahl
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Die Wurzel kann auch als Äquivalenzumformung verwendet werden, wenn eine Fallunterscheidung gemacht wird.
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Gegeben ist die Gleichung $x^2=4$.
- Wurzelziehen auf beiden Seiten ergibt $x=\pm 2$.
- Daraus lässt sich leicht die Lösungsmenge ablesen: $\mathbb{L} ={\{-2;2\}}$
