Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven: Unterschied zwischen den Versionen

• 

  Zuerst werden die Schnittpunkte bestimmt.

• 

  Als nächstes berechnet man die große Fläche mit $\int_a^b f(x) dx$ und ...

• 

  ... zieht davon die kleine Fläche $\int_a^b g(x)dx$ ab.

• 

  Als Ergebnis erhält man die gesuchte blaue Fläche.

$$f(x)=g(x)$$ $$x^2=4$$ $$x=\pm 2$$ Somit haben wir einen Schnittpunkt bei $x=-2$ und einen bei $x=2$ (Hinweis: Die y-Koordinaten sind für die weitere Berechnung nicht erforderlich!).

2. Schritt: Flächen berechnen und voneinander abziehen:

Indem man von der großen Fläche die kleine abzieht, erhält man die gesuchte Fläche.

Fläche unter $f(x)=A_{\cup}$
Fläche unter $g(x)=A_{ \Box }$
Dann ist die gesuchte Fläche $A$: $$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$$

$A_{ \Box }=a*a=4*4=16$
Alternativ kann man hier auch das bestimmte Integral verwenden: $$A_{ \Box }=\int_{-2}^2 g(x)dx=\int_{-2}^2 4dx=\left[ 4x\right]_{-2}^2=4\cdot 2-\left[ 4\cdot (-2)\right]=\underline{16}$$

$$A_{\cup}=\int_{-2}^2 f(x)dx=\int_{-2}^2 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2)^3}{3}=\frac{16}{3}=\underline{5.33}$$

Damit erhält man für $A$: $$A=A_{ \Box }-A_{\cup}=\int_{-2}^2 g(x)dx-\int_{-2}^2 f(x)dx$$ $$A=16-5,33=\underline{\underline{10,67} }$$ Wichtig: Da hier der Graph von $g$ oberhalb von $f$ liegt, muss man die Formel wie hier gezeigt anschreiben!

1. Schritt: Schnittpunkte $$f(x)=g(x)$$ $$-0.5 x² + 4x - 5=0.5x² - 4x + 7$$ $$0=x^2-8x+12$$ $$x_1=2\textrm{ und } x_2=6$$

2. Schritt: Anwenden der Formel $$\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$ $$\int_2^6 \left((-0.5 x² + 4x - 5)-(0.5x² - 4x + 7))\right)dx$$ $$\int_2^6 \left(-x^2+8x-12\right)dx=10.67$$

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt 10.67 FE.

$$f(x)=g(x)$$ $$x=x^3-9x^2+24x-15$$ Mithilfe von Technologie erhält man: $$x_1=1,\ x_2=3 \textrm{ und } x_3=5$$

Jede der Teilflächen hat einen Inhalt von 4 FE.

2. Schritt: Berechnung des Flächeninhaltes

Die gesuchte Fläche besteht aus zwei Flächeninhalten, die wir getrennt von einander berechnen würden, weil f und g abwechselnd oben bzw. unten sind.

Die Rechnung $\int_1^5 (f(x)-g(x))dx$ wäre <span style="color=red" falsch</span>, da hier 0 herauskommt (prüfe es selbst nach!)

• Linke Fläche: Hier ist g oben und f unten:

$$\int_1^3 (g(x)-f(x))dx=\int_1^3 (x^3-9x^2+24x-15-x)dx=\underline{4}$$

• Rechte Fläche: Hier ist f oben und g unten:

$$\int_3^5 (f(x)-g(x))dx=\int_1^3 (x-(x^3-9x^2+24x-15))dx=\underline{4}$$

• Gesamt: $4+4=\underline{\underline{8} } $

Die eingeschlossene Fläche hat 8 FE.