|
|
| (113 dazwischenliegende Versionen von 7 Benutzern werden nicht angezeigt) |
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| − | In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)
| + | #WEITERLEITUNG[[Trigonometrie]] |
| − | | + | |
| − | == Das rechtwinklige Dreieck ==
| + | |
| − | | + | |
| − | === Begriffe ===
| + | |
| − | [[Datei:RechtwDreieck.png|thumb|right|400px|rechtwinkliges Dreieck]]
| + | |
| − | | + | |
| − | Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (Dreieck mit einem 90°-Winkel), bestehend aus der '''Hypotenuse''' (=längste Seite des rechtw. Dreiecks) und den beiden '''Katheten'''. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
| + | |
| − | * die <span style="background-color:#FF6347"> Gegenkathete GK </span> liegt $\beta$ gegenüber
| + | |
| − | * die <span style="background-color:#6495ED"> Ankathete AK </span> liegt an $\beta$ an.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | === Sinus, Cosinus und Tangens ===
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | {| border ="1"
| + | |
| − | | + | |
| − | | '''Definition'''
| + | |
| − | | + | |
| − | |<p style="background-color:#E0E0E0">
| + | |
| − | | + | |
| − | {|
| + | |
| − | |* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H
| + | |
| − | |$sin\ \alpha = \frac{GK}{H}$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H
| + | |
| − | |$cos\ \alpha = \frac{AK}{H}$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK
| + | |
| − | |$tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </p>
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | Das besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
| + | |
| − | :[http://www.geogebratube.org/student/m133029 diesem Arbeitsblatt überprüfen].
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''Wichtig!'''
| + | |
| − | Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''!
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Hier noch Aufgaben
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | === Steigung und Steigungswinkel ===
| + | |
| − | [[Datei:Steigung.png|thumb|right|400px|Steigung und Steigungswinkel]]
| + | |
| − | Aus dem Kapitel [[Lineare Funktionen]] wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:
| + | |
| − | | + | |
| − | $$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$
| + | |
| − | Somit erhalten wir die Formel:
| + | |
| − | | + | |
| − | {| border="1" align="center"
| + | |
| − | | $$k=\tan \alpha$$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> Musterbeispiel </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content"> Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.
| + | |
| − | - Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.
| + | |
| − | | + | |
| − | - Bestimmen Sie
| + | |
| − | * a) den Steigungswinkel
| + | |
| − | * b) die prozentuelle Steigung
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> Lösung </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| + | |
| − | [[Datei:Steigungsbsp.png|thumb|right|400px|Skizze der Rampe]]
| + | |
| − | a) Berechnung des Steigungswinkels:
| + | |
| − | | + | |
| − | $\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ |[[Arkusfunktionen | im TR: $sin^{-1}$]]
| + | |
| − | | + | |
| − | $\alpha = 8.05°$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen:
| + | |
| − | $$k=\ tan\ \alpha$$
| + | |
| − | $$k=\tan \ 8.05°$$
| + | |
| − | $$k=0.14=14 \ \%$$
| + | |
| − | A: Die Steigung beträgt 14 %.
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | === Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis ===
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Datei:Einheitskreis-Bogenmaß.png|thumb|right|600px|Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß]]
| + | |
| − | | + | |
| − | Der '''Einheitskreis''' ist ein Kreis mit 1 cm. Sein Umfang beträgt
| + | |
| − | $$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$
| + | |
| − |
| + | |
| − | Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''1) Gradmaß (abgekürzt mit °)'''
| + | |
| − | | + | |
| − | So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.
| + | |
| − | | + | |
| − | * Eine volle Umdrehung hat 360°
| + | |
| − | * Eine halbe Umdrehung hat 180°
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)'''
| + | |
| − | | + | |
| − | Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens b (siehe Skizze) bestimmt werden.
| + | |
| − | | + | |
| − | * Bei einer vollen Umdrehung hat b die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
| + | |
| − | * Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | {| align="center"
| + | |
| − | [[http://www.geogebratube.org/student/m133394 Hier findest du ein Arbeitsblatt]], das dir den Zusammenhang besser erklärt.
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | {| border="1"
| + | |
| − | |'''Merke:'''
| + | |
| − | |
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | | Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | $$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> Musterbeispiel </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
| + | |
| − | | + | |
| − | a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.
| + | |
| − | | + | |
| − | b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> Lösung </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | a) Grad- in Bogenmaß:
| + | |
| − | $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | $$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | $$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | | + | |
| − | A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$
| + | |
| − | | + | |
| − | b) Bogen- in Gradmaß:
| + | |
| − | $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | $$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \\matbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$
| + | |
| − | $$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$
| + | |
| − | | + | |
| − | A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | === Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===
| + | |
| − | | + | |
| − | === Sinusfunktion, Cosinusfunktion, Tangensfunktion ===
| + | |
| − | | + | |
| − | === Weitere wichtige Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck ===
| + | |
| − | [[Datei:AllgDreieck.png|thumb|right|400px|allgemeines Dreieck]]
| + | |
| − | {| border="1" align="center"
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |
| + | |
| − | | rechtwinkliges Dreieck
| + | |
| − | | allgemeines Dreieck
| + | |
| − | | + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Winkelsumme
| + | |
| − | | $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| + | |
| − | | $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Pythagoras
| + | |
| − | | $H^2=GK^2+AK^2$
| + | |
| − | | gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Flächeninhalt
| + | |
| − | | $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$
| + | |
| − | | $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Sinussatz]]
| + | |
| − | |
| + | |
| − | | $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Cosinussatz]]
| + | |
| − | |
| + | |
| − | | $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
| + | |
| − | $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$
| + | |
| − | | + | |
| − | $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | == Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck ==
| + | |
| − | | + | |
| − | == Beispiele ==
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=216&file=Leuchturm.pdf Leuchtturm] (bifie-Aufgabe)
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=3&file=Standseilbahn.pdf Standseilbahn] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=82&file=Glaspyramide_des_Louvre.pdf Glaspyramiede des Louvre] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
| + | |
| − | : Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=150&file=Hochwasserschutz.pdf Hochwasserschutz] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
| + | |
| − | : Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=20&file=Wetterballon.pdf Wetterballon] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
| + | |
| − | : Siehe auch [[Lineare Funktionen]]
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=120&file=Die_Sonne.pdf Die Sonne] (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
| + | |
| − | : Siehe auch: [[Der Logarithmus | Logarithmus]]
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
| + | |
| − | : Siehe auch
| + | |
| − | : * [[Beschreibende Statistik]]
| + | |
| − | : * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Exponentielle Abnahme]]
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=186&file=Zimmerei.pdf Zimmerei] (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
| + | |
| − | : '''Achtung!''' Aufgabe b lernst du erst [[Wahrscheinlichkeitsrechnung | in der 5. Klasse]]
| + | |
