Exponentialfunktionen(3.5.): Unterschied zwischen den Versionen
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Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch: | Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch: | ||
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$ | $f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$ | ||
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Version vom 3. Juli 2014, 17:13 Uhr
| Definition: | Exponentialfunktionen sind Funktionen, deren Funktionsgleichung die Form $$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$ oder $$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+, \lambda \in \mathbb{R} $$ |
Hinweise
- $e$ steht für die Eulersche Zahl
- $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen
Inhaltsverzeichnis
Graph der Exponentialfunktion
Je nach Größe der Parameter a und b bzw. λ verändert sich der Graph:
| b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch: $f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$ (mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso) |
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Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion
- Die x-Achse ist eine Asymptote des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
- Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1).
- Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verendet.
Siehe Wachstums- und Zerfallsprozesse
Beispiele: Bestimmung der Funktionsgleichung
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.
1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach)
Angabe: Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die Parameter a und b.
Lösung:
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
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$\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.) $\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$ |
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Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$
2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel)
Angabe: Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die Parameter a und b.
Lösung:
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
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$\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$ $\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$ |
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Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des Einsetzungsverfahren lösen: Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei: $I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$ $\frac{4}{b}$ und setzen dies nun in II ein:
$II:\ 16=b\cdot ($ $\frac{4}{b}$ $)^2$ $$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$ $$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$ $$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$ $$II: \ b^2=1 $$ $$II: \ b=\pm 1$$ Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$
Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$
Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$
3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach)
Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die Parameter $\lambda$ und b
Lösung: 1. Punkt (0|3): Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1) 2. Punkt (2|27): Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten: $$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$ $$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$ Nun wenden wir den Logarithmus an: $$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$ $$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$ $$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 $$ $$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$ $$\underline{1.1=\lambda}$$
Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$ Kategorie Funktionen
