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Aktuelle Version vom 28. Januar 2021, 14:05 Uhr

Das folgende Video bietet dir einen Überblick über das Gelernte und erklärt dir die Formel für die Fläche zwischen $2$ Kurven:

ab Minute 3:23 geht es um die Fläche zwischen 2 Kurven.

Flächeninhalt zwischen zwei Kurven

Definition

Formel zur Berechnung der Fläche zwischen $2$ Graphen

Gegeben sei eine Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen $f$ und $g$, dann kann der Inhalt der eingeschlossenen Formel mit dieser Formel berechnet werden: $$\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx \textrm{ bzw. } \int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$

wobei der Graph von $f$ die obere und der Graph von $g$ die untere Begrenzungskurve sein muss! $$\int_{\color{blue}{linke\ Schnittstelle} }^{\color{blue}{rechte\ Schnittstelle} } \left(\color{green}{obere\ Funktion}-\color{red}{untere\ Funktion}\right)dx$$

$Aha!$ $\ $ Das folgende Applet zeigt dir die Herleitung dieser Formel

Herleitung der Formel als Bilderreihe

Zuerst werden die Schnittpunkte bestimmt.
Als nächstes berechnet man die große Fläche mit $\int_a^b f(x) dx$ und ...
... zieht davon die kleine Fläche $\int_a^b g(x)dx$ ab.
Als Ergebnis erhält man die gesuchte blaue Fläche.

Durch Verschieben beider Kurven entlang der $y$-Achse ändert sich der Flächeninhalt nicht. Somit ist die Formel auch gültig, wenn ein Teil der Fläche (oder die ganze) unter der $x$-Achse liegt.

Merke

Rechne immer „obere Funktion“ MINUS „untere Funktion“. Ansonsten erhältst du ein negatives Ergebnis.
Bei dieser Formel ist es egal, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der $x$-Achse ist.

$$\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx$$
$Aha!$ $\ $ Dies kannst du im folgenden Applet überprüfen.

Exkurs: Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?

Die Koordinaten der Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ erhält man durch Lösen der Gleichung $f(x)=g(x)$.

Definition

Der Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen ist jener Punkt, an dem beide Funktionen den gleichen $y$-Wert haben.

Der Schnittpunkt kann berechnet werden, indem die Funktionen gleichsetzt: $$f(x)=g(x)$$ Die entstandene Gleichung wird nach $x$ aufgelöst. Man erhält den $x$-Wert des Schnittpunktes. Für den $y$-Wert des Schnittpunktes muss jetzt der $x$-Wert in eine der Funktionsgleichungen eingesetzt werden. (Es ist egal, in welche der beiden Funktionen, da der $y$-Wert bei beiden derselbe ist.)

Der Schnittpunkt kann natürlich auch mithilfe von Technologie direkt berechnet werden:

$f(x)=2x+1$ und $g(x)=x−1$. Ermitteln Sie den Schnittpunkt der beiden Funktionen.

300px Die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ lauten $(-2\vert -3)$.

1. Schritt: Funktionen gleichsetzen. $$f(x)=g(x)$$ $$2x+1=x−1$$

2. Schritt: Gleichung nach $x$ auflösen (siehe Äquivalenzumformungen):

$$2x+1=x−1$$ $$2x=x−2$$ $$x=−2$$

Die $x$-Koordinate des Schnittpunktes lautet $x=-2$.

3. Schritt: $y$-Koordinate durch Einsetzen der $x$-Koordinate berechnen:

$$f(-2)=2\cdot (-2)+1$$

$$y=-3$$

Schnittpunkt: $(-2\vert -3)$

Merke

Schnittpunkte sind wichtig, weil sie uns zeigen, in welchem Bereich wir integrieren müssen.

Beispiele

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Funktionen $f$ mit $f(x)=x^2$ und $g$ mit $g(x)=4$ umschlossen wird.

1. Schritt: Zuerst berechnen wir die Schnittpunkte:

$$f(x)=g(x)$$ $$x^2=4$$ $$x=\pm 2$$ Somit haben wir einen Schnittpunkt bei $x=-2$ und einen bei $x=2$ (Hinweis: Die $y$-Koordinaten sind für die weitere Berechnung nicht erforderlich.).

2. Schritt: Flächen berechnen und voneinander abziehen:

Indem man von der großen Fläche die kleine abzieht, erhält man die gesuchte Fläche.

Fläche unter $f(x)=A_{\cup}$
Fläche unter $g(x)=A_{ \Box }$
Dann ist die gesuchte Fläche $A$: $$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$$

$A_{ \Box }=a\cdot a=4\cdot 4=16$
Alternativ kann man hier auch das bestimmte Integral verwenden: $$A_{ \Box }=\int_{-2}^2 g(x)dx=\int_{-2}^2 4dx=\left[ 4x\right]_{-2}^2=4\cdot 2-\left[ 4\cdot (-2)\right]=\underline{16}$$

$$A_{\cup}=\int_{-2}^2 f(x)dx=\int_{-2}^2 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2)^3}{3}=\frac{16}{3}\approx \underline{5.33}$$

Damit erhält man für $A$: $$A=A_{ \Box }-A_{\cup}=\int_{-2}^2 g(x)dx-\int_{-2}^2 f(x)dx$$ $$A=16-5.33=\underline{\underline{10.67} }$$ Wichtig: Da hier der Graph von $g$ oberhalb von $f$ liegt, muss man die Formel wie hier gezeigt anschreiben.

In den folgenden Beispielen wenden wir nun direkt die Formel an, ohne die Einzelheiten zu erklären:

Berechne den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionsgraphen $f$ mit $f(x)=-0.5 x² + 4x - 5$ und $g$ mit $g(x)=0.5x² - 4x + 7$ eingeschlossen wird. Fertige zuerst eine Skizze an.

1. Schritt: Schnittpunkte $$f(x)=g(x)$$ $$-0.5 x² + 4x - 5=0.5x² - 4x + 7$$ $$0=x^2-8x+12$$ $$x_1=2\textrm{ und } x_2=6$$

2. Schritt: Anwenden der Formel $$\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$ $$\int_2^6 \left((-0.5 x² + 4x - 5)-(0.5x² - 4x + 7))\right)dx$$ $$\int_2^6 \left(-x^2+8x-12\right)dx=10.67$$

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt $10.67$ FE.

Merke

Wichtig ist immer, dass in der Formel immer die obere Funktion minus die untere Funktion berechnet wird.

Besteht eine Fläche aus mehreren Teilschnittflächen, so muss in der Regel jede einzeln berechnet werden.

Dies muss in Beispielen wie dem Folgenden berücksichtigt werden:

Berechne den Inhalt der blau eingefärbten Fläche, wobei $f(x)=x$ und $g(x)=x^3-9x^2+24x-15$ ist.

Berechne den Inhalt der blau eingefärbten Fläche

1. Schritt: Schnittpunkte

$$f(x)=g(x)$$ $$x=x^3-9x^2+24x-15$$ Mithilfe von Technologie erhält man: $$x_1=1,\ x_2=3 \textrm{ und } x_3=5$$

Jede der Teilflächen hat einen Inhalt von $4$ FE.

2. Schritt: Berechnung des Flächeninhaltes

Die gesuchte Fläche besteht aus zwei Flächeninhalten, die wir getrennt voneinander berechnen würden, weil $f$ und $g$ abwechselnd oben bzw. unten sind.

Die Rechnung $\int_1^5 (f(x)-g(x))dx$ wäre falsch, da hier $0$ herauskommt (prüfe es selbst nach).

Linke Fläche: Hier ist $g$ oben und $f$ unten:

$$\int_1^3 (g(x)-f(x))dx=\int_1^3 (x^3-9x^2+24x-15-x)dx=\underline{4}$$

Rechte Fläche: Hier ist $f$ oben und $g$ unten:

$$\int_3^5 (f(x)-g(x))dx=\int_1^3 (x-(x^3-9x^2+24x-15))dx=\underline{4}$$

Gesamt: $4+4=\underline{\underline{8} } $

Die eingeschlossene Fläche hat $8$ FE.

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-==Wiederholung und Herleitung der Formel==
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 # Rechne immer „obere Funktion“ ''MINUS'' „untere Funktion“. Ansonsten erhältst du ein negatives Ergebnis.
 # Bei dieser Formel ist es egal, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der $x$-Achse ist.
-$$\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx$$ gilt immer. <br>
+$$\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx$$<br>
-[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]  Dies kannst du im [http://tube.geogebra.org/m/194563 folgenden Applet] überprüfen.
+[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Dies kannst du im [http://tube.geogebra.org/m/194563 folgenden Applet] überprüfen.
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 }}
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 ==Beispiele==
-{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Funktionen f und g umschlossen wird.<br />
+{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Funktionen $f$ mit $f(x)=x^2$ und $g$ mit $g(x)=4$ umschlossen wird.<br />
-$f(x)=x^2$<br />
-$g(x)=4$
 |2=
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 $$x^2=4$$
 $$x=\pm 2$$
-Somit haben wir einen Schnittpunkt bei $x=-2$ und einen bei $x=2$ (Hinweis: Die y-Koordinaten sind für die weitere Berechnung nicht erforderlich!).
+Somit haben wir einen Schnittpunkt bei $x=-2$ und einen bei $x=2$ (Hinweis: Die $y$-Koordinaten sind für die weitere Berechnung nicht erforderlich.).
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 <br />
-$A_{ \Box  }=a*a=4*4=16$<br />
+$A_{ \Box  }=a\cdot a=4\cdot 4=16$<br />
 Alternativ kann man hier auch das bestimmte Integral verwenden:
 $$A_{ \Box  }=\int_{-2}^2 g(x)dx=\int_{-2}^2 4dx=\left[ 4x\right]_{-2}^2=4\cdot 2-\left[ 4\cdot (-2)\right]=\underline{16}$$
 <br />
-$$A_{\cup}=\int_{-2}^2 f(x)dx=\int_{-2}^2 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2)^3}{3}=\frac{16}{3}=\underline{5.33}$$
+$$A_{\cup}=\int_{-2}^2 f(x)dx=\int_{-2}^2 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2)^3}{3}=\frac{16}{3}\approx \underline{5.33}$$
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 Damit erhält man für $A$:
 $$A=A_{ \Box  }-A_{\cup}=\int_{-2}^2 g(x)dx-\int_{-2}^2 f(x)dx$$
-$$A=16-5,33=\underline{\underline{10,67} }$$
+$$A=16-5.33=\underline{\underline{10.67} }$$
-'''Wichtig:''' Da hier der Graph von $g$ oberhalb von $f$ liegt, muss man die Formel wie hier gezeigt anschreiben!'''
+'''Wichtig:''' Da hier der Graph von $g$ oberhalb von $f$ liegt, muss man die Formel wie hier gezeigt anschreiben.
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-{{Vorlage:Beispiel|1=Berechne den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionsgraphen mit $f(x)=-0.5 x² + 4x - 5$ und $g(x)=0.5x² - 4x + 7$ eingeschlossen wird. Fertige zuerst eine Skizze an.
+{{Vorlage:Beispiel|1=Berechne den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionsgraphen $f$ mit $f(x)=-0.5 x² + 4x - 5$ und $g$ mit $g(x)=0.5x² - 4x + 7$ eingeschlossen wird. Fertige zuerst eine Skizze an.
 |2=
 <br />
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 $$\int_2^6 \left(-x^2+8x-12\right)dx=10.67$$
-Der gesuchte Flächeninhalt beträgt 10.67 FE.
+Der gesuchte Flächeninhalt beträgt $10.67$ FE.
 }}
 {{Vorlage:Merke|1= Wichtig ist immer, dass in der Formel immer die '''obere''' Funktion minus die '''untere''' Funktion berechnet wird.
-Besteht eine Fläche aus mehreren Teilschnittflächen, so muss in der Regel jede einzeln berechnet werden!
+Besteht eine Fläche aus mehreren Teilschnittflächen, so muss in der Regel jede einzeln berechnet werden.
 }}
-Dies muss in Beispielen wie dem folgenden berücksichtigt werden:
+<br>
+Dies muss in Beispielen wie dem Folgenden berücksichtigt werden:
 {{Vorlage:Beispiel|1=
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-[[Datei:2kurven-beispiel4b.png|thumb|300px|right|Jede der Teilflächen hat einen Inhalt von 4 FE.]]
+[[Datei:2kurven-beispiel4b.png|thumb|300px|right|Jede der Teilflächen hat einen Inhalt von $4$ FE.]]
 '''2. Schritt''': Berechnung des Flächeninhaltes
-Die gesuchte Fläche besteht aus zwei Flächeninhalten, die wir getrennt von einander berechnen würden, weil f und g abwechselnd oben bzw. unten sind.
+Die gesuchte Fläche besteht aus zwei Flächeninhalten, die wir getrennt voneinander berechnen würden, weil $f$ und $g$ abwechselnd oben bzw. unten sind.
-Die Rechnung $\int_1^5 (f(x)-g(x))dx$ wäre <span style="color=red" '''falsch'''</span>, da hier 0 herauskommt (prüfe es selbst nach!)
+Die Rechnung $\int_1^5 (f(x)-g(x))dx$ wäre '''falsch''', da hier $0$ herauskommt (prüfe es selbst nach).
-* Linke Fläche: Hier ist g oben und f unten:
+* Linke Fläche: Hier ist $g$ oben und $f$ unten:
 $$\int_1^3 (g(x)-f(x))dx=\int_1^3 (x^3-9x^2+24x-15-x)dx=\underline{4}$$
-* Rechte Fläche: Hier ist f oben und g unten:
+* Rechte Fläche: Hier ist $f$ oben und $g$ unten:
 $$\int_3^5 (f(x)-g(x))dx=\int_1^3 (x-(x^3-9x^2+24x-15))dx=\underline{4}$$
 * Gesamt: $4+4=\underline{\underline{8} } $
-Die eingeschlossene Fläche hat 8 FE.
+Die eingeschlossene Fläche hat $8$ FE.
 }}
@@ Zeile 182: / Zeile 178: @@
 $=\frac{63}{12}$
-$=5,25$
+$=5.25$
@@ Zeile 190: / Zeile 186: @@
 $A\triangle= A\triangle\Box-A\Box$
-$\Rightarrow 5,25-3= 2,25$
+$\Rightarrow 5.25-3= 2.25$
@@ Zeile 200: / Zeile 196: @@
 * [http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_05.htm Erklärungen und Beispiele von brinkmann-du]
 * [http://matheguru.com/30-flaeche-zwischen-funktionen.html Erklärung von matheguru]
-* [http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil1pdf/FlaechezwischenGraphen.pdf Beispiele samt Lösungen von Roolfs]
+* [http://groolfs.de/AnalysisTeil1pdf/FlaechezwischenGraphen.pdf Beispiele mit Lösungen von Groolfs]
-* [https://www.youtube.com/watch?v=-6vRkqsQvM4 weiters Lernvideo in dem ein Beispiel vorgerechnet wird]
+* [https://www.youtube.com/watch?v=-6vRkqsQvM4 Weiteres Lernvideo, in dem ein Beispiel vorgerechnet wird]
 <!--

Inhalt:Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 28. Januar 2021, 14:05 Uhr

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