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| − | == Differenzengleichungen ==
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| − | Differenzengleichungen ermöglichen es, praktische Fragestellungen aus der Finanzmathematik ([[Zins- und Zinseszinsrechnung|Zinseszins-]], [[Rentenrechnung|Renten-]] und [[Schuldentilgung|Tilgungsrechnung]]), der Populationsdynamik (Entwicklung einer Population) sowie aus vielen weiteren wissenschaftlichen Disziplinen der Wirtschaft, Medizin, Technik usw. mathematisch zu beschreiben.
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| − | Bei einer Differenzengleichung (auch '''Rekursionsgleichung''' genannt) handelt es sich um eine rekursive Folge, also um eine Aufzählung von Zahlen. Besteht eine Folge aus den Zahlen $x_0, x_1, x_2, x_3, …$ , so heißen diese Zahlen Glieder der Folge, wobei $x_0$ das 0. Folgeglied, $x_1$ das 1. Folgeglied usw. bezeichnet. <br>
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| − | Rekursiv bedeutet, dass man unter Kenntnis eines Folgeglieds immer das nächste Folgeglied ermitteln kann. <br>
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1=Es gelte $y_0=4$ und $y_{n+1}=y_n-2$.
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| − | Ermitteln Sie $y_n$ für $n=1, 2, 3$.
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| − | $y_0$ … Anfangs- bzw. Startwert (erste Zahl der Zahlenfolge)<br>
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| − | $\hspace{2.1cm} y_n$ … Wert nach $n$ Einheiten ($n$-tes Folgeglied)<br>
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| − | $\hspace{2.1cm} y_(n+1)$ … Wert nach $(n+1)$ Einheiten ($(n+1)$-tes Folgeglied bzw. Nachfolger von $y_n$)<br>
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| − | '''Anmerkungen:''' Anstelle der Schreibweise $y_0, y_n$ bzw. $y_(n+1)$ wird auch häufig die Form $y(0), y(n)$ bzw. $y(n+1)$ verwendet. Beachte, dass $n$ immer nur eine natürliche Zahl sein kann (d. h. $n=0, 1, 2, 3, …$). Denn es macht keinen Sinn das $-1$-te Folgeglied oder etwa das $1.5$-te Folgeglied zu berechnen.
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| − | |2='''Lösung:''' <br>
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| − | Der Anfangswert der Zahlenfolge ist $4$. Jedes weitere Folgeglied ist um $2$ kleiner als das vorige. Somit erhalten wir $y_1$ indem wir vom Anfangswert $2$ abziehen, es gilt:<br>
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| − | $\bm{y_1}=y_0-2 \Rightarrow y_1=4-2=\bm{2}$
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| − | Das 2. Folgeglied $y_2$ erhalten wir nun, indem wir vom aktuellen Folgeglied $y_1$ erneut $2$ abziehen.<br>
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| − | $\bm{y_2}=y_1-2\Rightarrow y_2=2-2=\bm{0}$
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| − | Analog resultiert für das 3. Folgeglied $\bm{y_3=-2}$.
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1='''Verständnisfrage:''' Warum wird durch die alleinige Angabe von $y_(n+1)=y_n-2$ für alle $n\in \mathbb{N}$ keine Folge eindeutig definiert?
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| − | |2='''Lösung:''' Es fehlt die Anfangsbedingung, denn je nach Wahl des Anfangswertes ergibt sich eine andere Zahlenfolge. So erhalten wir für $y_0=3$ die Folge $(3, 1, -1, -3, …)$, für $y=4$ ergibt sich allerdings die Folge $(4, 2, 0, -2, …)$. Beide erfüllen die Bedingung $y_(n+1)=y_n-2$ für alle $n\in \mathbb{N}$, sind aber voneinander verschieden.
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| − | '''Es ist also unbedingt erforderlich, die Anfangsbedingung immer mit anzugeben.'''
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| − | Grundsätzlich unterscheidet man bei Differenzengleichungen '''zwei''' Grundformen:
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| − | '''Lineare Differenzengleichung (arithmetische Folge)'''
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| − | Für ein lineares Wachstum ist eine '''konstante Zunahme''' in '''gleichen Zeitspannen''' charakteristisch.<br>
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| − | Bei einer linearen Differenzengleichung wächst bzw. sinkt der angegebene Wert mit jedem Folgeglied um einen '''festen Betrag'''. Ein Beispiel dafür ist obige Folge $y_(n+1)=y_n-2$, wo der Wert stets um $2$ gesunken ist.
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| − | {{Vorlage:Definition|1='''Lineare Differenzengleichung (Rekursive Darstellung)''' <br>
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| − | Bei linearem Wachstum bzw. linearer Abnahme gilt für einen Bestand $y_t$ nach $t$ Zeitschritten:
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| − | $ \underbrace{y_(t+1)=y_t\pm k}_{rekursive Folge} \qquad$ oder $\qquad \underbrace{y_(t+1)-y_t=\pm k}_{Differenzengleichung}$ <br>
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| − | mit konstanter Änderungsrate $k$ und Anfangsbestand $y_0$.
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| − | '''Anmerkung:''' Die Folge wurde hier mit der Variable $y$ festgelegt. Natürlich kann zur Beschreibung einer Folge jede beliebige andere Variable $a, b, h, z, …$ verwendet werden.
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1=Ein Produkt kostet $1000 €$ und wird jährlich um $40 €$ teurer. Stellen Sie eine geeignete Differenzengleichung (Rekursionsgleichung) auf, die diesen Sachverhalt modelliert.
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| − | |2='''Lösung:''' Zunächst benennen wir die Folge mit einer beliebigen Variablen, beispielweise mit $a$.
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| − | Beim Ausgangswert handelt es sich um die ursprünglichen Kosten des Produkts, d. h. $a_0=1000 €$. Der Betrag erhöht sich jährlich um $40 €$, sprich $k=40€$.
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| − | Es gilt somit: $a_0=1000 €\quad , \quad a_(n+1)=a_n+40
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| − | Folglich beträgt die Differenz zwischen dem nächsten Jahr und dem aktuellen Jahr $40$, oder anders ausgedrückt $a_(n+1)-a_n=40$. <br>
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| − | Die Aufgabe lässt sich nun auch noch grafisch darstellen: Zu Beginn kostet das Produkt $1000$. Dies entspricht dem Punkt $(0|1000)$ im Koordinatensystem. Nach einem Jahr kostet das Produkt $1040 €$ ($(1|1040)$), nach einem weiteren Jahr bereits $1080$ ($(2|1080)$) usw. Da nun alle eingezeichneten Punkte auf einer Linie liegen, handelt es sich dabei um eine lineare Differenzengleichung.
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