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Version vom 17. Juli 2019, 12:02 Uhr
Änderungsmaße
Möchte man Daten miteinander vergleichen oder Änderungen von Größen beschreiben, so können sogenannte Änderungsmaße verwendet werden.
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Änderungsmaße Sei $f$ eine reelle Funktion, die auf dem Intervall $[a; b]$ definiert ist. Dann bezeichnet man die reelle Zahl
- $\quad$ $f(b)-f(a) \hspace{1cm}$ als absolute Änderung von $f$ in $[a; b]$.
Anmerkung: Der Änderungsfaktor ist immer um $1$ größer als die relative Änderung:
$\frac{f(b)-f(a)}{f(a)}=\frac{f(b)}{f(a)}-\frac{f(a)}{(f(a)}=\frac{f(b)}{f(a)}-1$
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=\frac{x^2}{2}+3$.
Aufgabenstellung:
$\hspace{2.05cm}$ Berechnen Sie (1) die absolute, (2) die relative und (3) die prozentuelle Änderung sowie (4) den Änderungsfaktor von $f$ im
$\hspace{2.05cm}$ Intervall $[2; 4]$.
(1) Absolute Änderung: $f(b)-f(a)=f(4)-f(2)=\frac{4^2}{2}+3-(\frac{2^2}{2}+3)=(8+3)-(2+3)=6$
Der Funktionswert nimmt in diesem Intervall absolut um $6$ zu.
(2) Relative und (3) prozentuelle Änderung: $\frac{f(b)-f(a)}{f(a)}=\frac{f(4)-f(2)}{f(2)}=\frac{6}{5}=1.2\Rightarrow 1.2\cdot 100=120 %$
Der Funktionswert nimmt in diesem Intervall um $120%$ zu.
(4) Änderungsfaktor: $\frac{f(b)}{f(a)}=\frac{4}{2}=\frac{11}{5}=2.2$
Man muss $f(2)$ mit $2.2$ multiplizieren um $f(4) zu erhalten.
Eine Funktion $s:[0;6]\rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt den von einem Radfahrer innerhalb von $t$ Sekunden zurückgelegten Weg.
Es gilt: $s(t)=\frac{1}{2}t^2+2t$
Der zurückgelegte Weg wird dabei in Metern angegeben, die Zeit wird ab dem Zeitpunkt $t_0=0$ in Sekunden gemessen.
'''Aufgabenstellung: '''
Ermitteln Sie den Differenzenquotienten der Funktion $s$ im Intervall [0; 6] und deuten Sie das Ergebnis.
'''Interpretation:''' Die mittlere (durchschnittliche) Geschwindigkeit des Radfahrers im Zeitintervall $[0;6]$ Sekunden beträgt $5 m/s$.
Aufgrund einer Beförderung erhöht sich das Gehalt eines Angestellten von $2 400€$ auf $2 760€$.
'''Aufgabenstellung: '''
Um wie viel Prozent ist sein Gehalt gestiegen?
{\text{Ausgangsgehalt}}=\frac{2 760€-2 400€}{2 400€}=0.15$
Sein Gehalt ist somit um $15%$ gestiegen.
'''Lösungsansatz mithilfe des Änderungsfaktors:''' $\frac{f(b)}{f(a)}=\frac{\text{Endgehalt}}{\text{Ausgangsgehalt}}=\frac{2 760€}{2 400€}=1.15
Sein Gehalt ist somit auf das 1.15-Fache gestiegen. Da wir beim Änderungsfaktor immer von $100%$ ausgehen und die Dezimalzahl $1.15$ $115%$ entspricht, bedeutet dies einen Anstieg des Gehalts um insgesamt $15%$.
Die Aufgabe kann somit sowohl mit der relativen bzw. prozentuellen Änderung, als auch mit dem Änderungsfaktor gelöst werden. }}
