Matrizen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Matura Wiki
Carina (Diskussion | Beiträge) |
K (Textersetzung - „http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/“ durch „https://www1.vobs.at/maturawiki/“) |
||
(33 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
− | + | Die Matrizenrechnung ist ein nützliches Werkzeug, um ein Gleichungssystem mit vielen linearen Gleichungen zu lösen oder auch um Tabellen übersichtlich darzustellen, also um lineare Zusammenhänge zwischen mehreren Größen herzustellen. | |
+ | =Einführung= | ||
+ | ==Einführung== | ||
+ | Will man ein lineares Gleichungssystem lösen, kann das mit den bereits bekannten Verfahren wie Additions-, Gleichsetzungs- oder dem Substitutionsverfahren geschehen, doch wird das bei einem großen Gleichungssystem schnell unübersichtlich und mühsam. Daher wird eine neue Schreibweise eingeführt. | ||
+ | Das Gleichungssytem | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 &= y_1 \\ | ||
+ | a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 &= y_2 \\ | ||
+ | \end{align} | ||
+ | bei dem $x_1 , x_2, x_3$ gesucht sind, kann auch in Matrixschreibweise geschrieben werden: | ||
+ | $$\begin{pmatrix} | ||
+ | a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ | ||
+ | a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ | ||
+ | \end{pmatrix} \cdot | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | x_1 \\ x_2 \\ x_3 | ||
+ | \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | ||
+ | y_1 \\ y_2 | ||
+ | \end{pmatrix},$$ | ||
+ | wobei die Matrizenmultiplikation weiter unten erklärt wird. | ||
+ | Man nennt | ||
− | + | $$ \begin{pmatrix} | |
+ | a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ | ||
+ | a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | $$ eine $2\times3$ Matrix, sie besteht aus 2 [[Zeilen]] und 3 [[Spalten]], | ||
+ | $\begin{pmatrix} | ||
+ | x_1 \\ x_2 \\ x_3 | ||
+ | \end{pmatrix}$ nennt man eine $3 \times 1$ Matrix und $\begin{pmatrix} | ||
+ | y_1 \\ y_2 | ||
+ | \end{pmatrix}$ eine $2 \times 1$ Matrix. | ||
+ | Der erste Index gibt dabei an in der welcher Zeile und der zweite Index in welcher Spalte sich die Zahl befindet. Hier bilden zum Beispiel $a_{11}$, $ a_{12}$ und $ a_{13}$ die erste Zeile, $a_{21}$, $ a_{22}$ und $ a_{23} $ die zweite Zeile. $a_{11}$ und $ a_{21}$ bilden die erste Spalte, $a_{12}$ und $a_{22}$ die zweite Spalte und $ a_{13}$ und $ a_{23}$ und die dritte Spalte | ||
− | == | + | Mit $A:=\begin{pmatrix} |
− | + | a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ | |
− | + | a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ | |
+ | \end{pmatrix}$ , $\vec{x} =\begin{pmatrix} | ||
+ | x_1 \\ x_2 \\ x_3 | ||
+ | \end{pmatrix}$ und $\vec{y}=\begin{pmatrix} | ||
+ | y_1 \\ y_2 | ||
+ | \end{pmatrix}$ kann man das Gleichungssystem sehr kompakt als | ||
+ | $A \cdot \vec{x}= \vec{y}$ schreiben. Das Lösen des Gleichungssystems erfolgt dann über [https://www1.vobs.at/maturawiki/index.php/Äquivalenzumformungen Äquivalenzumformen] von $(A|\vec{y})$, d.h. der Matrix | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | $$\left( \begin{array}{ccc} | ||
+ | a_{11} & a_{12} &a_{13}\\ | ||
+ | a_{21} & a_{22} &a_{23}\\ | ||
+ | \end{array} \right| \left. \begin{array}{c} y_1 \\y_2 \end{array}\right)$$ | ||
− | |||
− | Beispiel: $a_{11}=3 | + | Beispiel: $a_{11}=3 \qquad a_{12}=6 \qquad a_{13}=2 \qquad a_{21}=7 \qquad a_{22}=8 \qquad a_{23}=1$ |
− | $ | + | $$ |
− | + | ||
− | 3 & 6 | + | A= \begin{pmatrix} |
− | 7 & 8 | + | 3 & 6 &2\\7 & 8 &1\\ |
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
− | $ | + | $$ |
Zeile 35: | Zeile 68: | ||
− | {{Vorlage:Beispiel|1= | + | {{Vorlage:Beispiel|1= Gib die erste Zeile der Matrix $\quad F= \begin{pmatrix} |
8 & 12 &17 \\ | 8 & 12 &17 \\ | ||
3,9 & 5 & 84,7 \\ | 3,9 & 5 & 84,7 \\ | ||
4,5 &63 & 9,6\\ | 4,5 &63 & 9,6\\ | ||
− | \end{pmatrix} $ und | + | \end{pmatrix} $ und die 3. Spalte der Matrix $F$ an! |
|2= 1.Zeile $\left( 8 \quad 12 \quad 17 \right) $ | |2= 1.Zeile $\left( 8 \quad 12 \quad 17 \right) $ | ||
Zeile 57: | Zeile 90: | ||
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ | \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ | ||
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} | a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} | ||
− | \end{pmatrix} | + | \end{pmatrix} \quad \in \mathbb{R}^{m \times n} \qquad \forall m,n \in \mathbb{N} |
$ | $ | ||
Die $m\times n$ Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.}} | Die $m\times n$ Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.}} | ||
− | {{Vorlage:Merke|1=Eine quadratische Matrix hat die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten.}} | + | {{Vorlage:Merke|1=Eine [[quadratische Matrix|quadratische Matrix]] hat die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten, also $m=n$. Damit ein Gleichungssystem eine eindeutige Lösung haben kann, muss die Matrix $A$ quadratisch sein, das heißt gleich viele Gleichungen wie Unbekannte haben.}} |
− | {{Vorlage:Merke|1= Bei der Addition von Matrizen, werden die | + | |
+ | {{Vorlage:Definition|1=Nullmatrix | ||
+ | Die [[Nullmatrix|Nullmatrix]] $0_n$ ist wie folgt definiert: | ||
+ | |||
+ | $ | ||
+ | 0= \begin{pmatrix} | ||
+ | 0 & \dots & 0 \\ | ||
+ | |||
+ | \vdots & & \vdots \\ | ||
+ | 0 & \dots & 0 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} \quad \in \mathbb{R}^{n \times n} \qquad \forall n \in \mathbb{N} | ||
+ | $ | ||
+ | |||
+ | Es gilt $A + 0 =0+A =A$ und $ A \cdot 0 = 0 \cdot A=0$.}} | ||
+ | |||
+ | {{Vorlage:Definition|1=Einheitsmatrix | ||
+ | Die [[Einheitsmatrix|Einheitsmatrix]] $I_n$ hat nur in der [[Hauptdiagonale|Hauptdiagonale]] (von links oben nach rechts unten) Einsen stehen. Sonst befinden sich überall Nullen. Zudem ist sie eine quadratische Matrix. | ||
+ | |||
+ | $ | ||
+ | I_n= \begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 0 & \dots & 0 \\ | ||
+ | 0 & 1 & \dots & 0 \\ | ||
+ | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ | ||
+ | 0 &0 & \dots & 1 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} \quad \in \mathbb{R}^{n \times n} \qquad \forall n \in \mathbb{N} | ||
+ | $ | ||
+ | |||
+ | Die Einheitsmatrix wird benötigt, um ein lineares Gleichungssystem in Matrixform zu lösen und um die Inverse einer Matrix zu definieren, also $A \dot I= A$. Ist $B$ die Inverse zu $A$, dann $ A\cdot B = I =B \cdot A$. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {{Vorlage:Beispiel|1= Gib die Einheitsmatrix im dreidimensionalen Raum an! | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |2= $I_3= \begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 0 &0 \\ | ||
+ | 0 & 1 & 0 \\ | ||
+ | 0 &0 & 1\\ | ||
+ | \end{pmatrix} $ }} | ||
+ | |||
+ | =Rechenregeln= | ||
+ | ==Rechenregeln== | ||
+ | {{Vorlage:Merke|1= Bei der [[Addition|Addition]] von Matrizen, werden die gleichen Komponenten miteinander addiert. | ||
Zeile 89: | Zeile 169: | ||
dann ist | dann ist | ||
− | + | $A +B = | |
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
− | a_{11} | + | a_{11} + b_{11} & a_{12}+ b_{12} + & \dots +& a_{1n} + b_{1n} \\ |
− | a_{21} | + | a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} + &\dots +& a_{1n}+ b_{2n} \\ |
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ | \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ | ||
− | a_{m1} b_{m1} &a_{m2} | + | a_{m1}+ b_{m1} &a_{m2} + b_{m2} & + \dots +& a_{mn} + b_{mn} |
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
− | $ | + | $ |
+ | |||
+ | Bei der Addition müssen beide Matrizen dieselbe Dimension haben, das heißt dieselbe Anzahl von Zeilen und Spalten.}} | ||
Zeile 104: | Zeile 186: | ||
$ | $ | ||
A= \begin{pmatrix} | A= \begin{pmatrix} | ||
− | a_{11} & a_{12} | + | a_{11} & a_{12} \\ |
− | a_{21} & a_{22} | + | a_{21} & a_{22} \\ |
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
− | $ | + | $ |
$ | $ | ||
B= \begin{pmatrix} | B= \begin{pmatrix} | ||
− | b_{11} & b_{12} | + | b_{11} & b_{12} \\ |
− | b_{21} & b_{22} | + | b_{21} & b_{22} \\ |
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
− | $ | + | $ |
− | dann ist $ \qquad \qquad \qquad A B = | + | dann ist $ \qquad \qquad \qquad A+ B =\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ |
− | \begin{pmatrix} | + | |
− | a_{11} & a_{12} | + | |
a_{21} & a_{22} | a_{21} & a_{22} | ||
+ | \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ | ||
+ | b_{21} & b_{22} | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
− | + | = | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
− | a_{11} | + | a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ |
− | a_{21} | + | a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \\ |
\end{pmatrix}$ | \end{pmatrix}$ | ||
Zeile 141: | Zeile 219: | ||
\end{pmatrix}$. | \end{pmatrix}$. | ||
− | |2= $C D= | + | |2= $C +D= |
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
10 & 5 \\ | 10 & 5 \\ | ||
Zeile 150: | Zeile 228: | ||
+ | {{Vorlage:Beispiel|1= In der Firma $A$ wird 8 mal das Produkt 1 hergestellt, 5 mal Produkt 2, 12 mal Produkt 3 und 7 mal Produkt 4, in der Firma Firma $B$ wird 2 mal das Produkt 1 hergestellt, 1 mal Produkt 2, 3 mal Produkt 3 und 9 mal Produkt 4, | ||
+ | Firma $C$ wird 0 mal das Produkt 1 hergestellt, 17 mal Produkt 2, 3 mal Produkt 3 und 9 mal Produkt 4, | ||
+ | Firma $D$ wird 3 mal das Produkt 1 hergestellt, 4 mal Produkt 2, 2 mal Produkt 3 und 5 mal Produkt 4. | ||
+ | Wie viel wird insgesamt von den jeweiligen Produkten hergestellt? | ||
+ | |||
+ | |2= $A + B +C +D = \begin{pmatrix} | ||
+ | 8 & 5 \\ | ||
+ | 12 & 7 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} | ||
+ | 2 & 1 \\ | ||
+ | 3 & 9 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} + | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 0 & 17 \\ | ||
+ | 3 & 9 \\ | ||
+ | \end{pmatrix}+ | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 3 & 4 \\ | ||
+ | 2 & 5 \\ | ||
+ | \end{pmatrix}= | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 13 & 27 \\ | ||
+ | 20 & 30 \\ | ||
+ | \end{pmatrix}$, es wird also insgesamt 13 mal das Produkt hergestellt, 27 mal Produkt 2, 20 mal Produkt 3 und 30 mal Produkt 4. }} | ||
− | {{Vorlage:Merke|1= Bei der Multiplikation mit einem Skalar $k$ (einer reellen Zahl), wird jede Komponente einzeln mit dem Skalar multipliziert. | + | |
+ | |||
+ | Addiere die beiden Matrizen und füge die Zahlen der Lösungsmatrix in die Zellen ein, dann klicke auf überprüfen. | ||
+ | |||
+ | <ggb_applet width="800" height="300" version="5.0" id=NzpNGGME /> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Subtrahiere die beiden Matrizen und füge die Zahlen der Lösungsmatrix in die Zellen ein, dann klicke auf überprüfen. | ||
+ | |||
+ | <ggb_applet width="800" height="300" version="5.0" id=UgJMsJm9 /> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {{Vorlage:Merke|1= Bei der [[Multiplikation mit einem Skalar|Multiplikation mit einem Skalar]] $k$ (einer reellen Zahl), wird jede Komponente einzeln mit dem Skalar multipliziert. | ||
Zeile 183: | Zeile 301: | ||
+ | Multipliziere die Matrix mit dem Skalar und füge die Zahlen der Lösungsmatrix in die Zellen ein, dann klicke auf überprüfen. | ||
+ | <ggb_applet width="800" height="300" version="5.0" id=DpYwSR4m /> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
{{Vorlage:Definition|1=Transponierte Matrix | {{Vorlage:Definition|1=Transponierte Matrix | ||
− | Bei einer transponierten Matrix werden die Zeilen und Spalten miteinander vertauscht. Sei $A$ die ursprüngliche Matrix und $A^T$ die transponierte: | + | Bei einer [[transponierten Matrix|transponierten Matrix]] werden die Zeilen und Spalten miteinander vertauscht. Sei $A$ die ursprüngliche Matrix und $A^T$ die transponierte Matrix: |
$A= \begin{pmatrix} | $A= \begin{pmatrix} | ||
a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ | a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ | ||
Zeile 251: | Zeile 329: | ||
− | {{Vorlage:Beispiel|1= | + | {{Vorlage:Beispiel|1= Gib die transponierten Matrizen zu den Matrizen $B$ und $C$ an! |
$\quad B= \begin{pmatrix} | $\quad B= \begin{pmatrix} | ||
9 & 4 \\ | 9 & 4 \\ | ||
Zeile 267: | Zeile 345: | ||
9 & 654 \\ | 9 & 654 \\ | ||
4 & 274 \\ | 4 & 274 \\ | ||
− | \end{pmatrix} $ | + | \end{pmatrix} $ $\quad C^T= \begin{pmatrix} |
− | + | ||
− | $\quad C^T= \begin{pmatrix} | + | |
65 & 8,3 & 4\\ | 65 & 8,3 & 4\\ | ||
4,7 & 2,4 & 2\\ | 4,7 & 2,4 & 2\\ | ||
Zeile 290: | Zeile 366: | ||
Zwei Matrizen werden nach der Regel: Zeile mal Spalte multipliziert. | Zwei Matrizen werden nach der Regel: Zeile mal Spalte multipliziert. | ||
− | Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, das heißt: $A\cdot B \neq B \cdot A$. | + | Die [[Matrizenmultiplikation|Matrizenmultiplikation]] ist nicht kommutativ, das heißt: $A\cdot B \neq B \cdot A$. |
− | Um $A \cdot B =C$ zu erhalten muss die Anzahl der Spalten von $A$ die selbe sein wie die Anzahl der Zeilen von $B$. Also wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist | + | Um $A \cdot B =C$ zu erhalten muss die Anzahl der Spalten von $A$ die selbe sein wie die Anzahl der Zeilen von $B$. Also wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist und $B$ eine $n \times p$ Matrix, so sind $m$ und $p$ beliebig und $n$ muss bei $A$ und $B$ dieselbe Zahl sein. Außerdem ist dann $C$ eine $m \times p$ Matrix, sie hat also dieselbe Anzahl der Zeilen wie die Matrix $A$ und dieselbe Spaltenanzahl wie die Matrix $B$.}} |
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Sei die Matrix $A$ zum Beispiel eine $2 \times 3$ Matrix und $B$ eine $3 \times 4$ Matrix. Dann ist die Matrix $A \cdot B = C$ eine $2 \times 4$ Matrix. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
Wie erhält man nun die einzelnen Koeffizienten der Matrix $C$? | Wie erhält man nun die einzelnen Koeffizienten der Matrix $C$? | ||
+ | |||
\url{https://www.youtube.com/watch?v=iLgfkgscafQ} | \url{https://www.youtube.com/watch?v=iLgfkgscafQ} | ||
Zeile 303: | Zeile 380: | ||
Falk'schen Anordnung erfolgen: | Falk'schen Anordnung erfolgen: | ||
− | |||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
− | + | <br />$ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1q} \\ | |
− | + | ||
− | + | ||
b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2q} \\ | b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2q} \\ | ||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ | ||
b_{p1} & b_{p2} & \dots & b_{pq} \\ | b_{p1} & b_{p2} & \dots & b_{pq} \\ | ||
\end{pmatrix} $ | \end{pmatrix} $ | ||
− | + | $ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1p} \\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2p} \\ | |
− | + | ||
− | a_{21} & | + | |
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ | ||
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{np}\\ \end{pmatrix} $ | a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{np}\\ \end{pmatrix} $ | ||
− | + | $ \begin{pmatrix} | |
+ | |||
c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1q}\\ | c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1q}\\ | ||
c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2q} \\ | c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2q} \\ | ||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ | ||
c_{n1} & c_{n2} & \dots & c_{nq} \end{pmatrix} $ | c_{n1} & c_{n2} & \dots & c_{nq} \end{pmatrix} $ | ||
− | + | ||
− | + | Es werden die Spalten von $B$ über die Zeilen von $A$ gelegt, die Komponenten paarweise multipliziert und dann die Ergebnisse addiert. | |
− | + | ||
− | + | [[Datei:falkanordnung.png|400px|mini|Falk'sche Anordnung (Quelle: [http://www.texample.net/tikz/examples/matrix-multiplication/ texample])]] | |
− | Es werden | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | falkanordnung.png|Falk'sche Anordnung | + | |
− | + | ||
− | + | ||
Wobei | Wobei | ||
− | $$c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} | + | $$c_{11} = a_{11} \cdot b_{11}+ a_{12} \cdot b_{21} + \dots + a_{1p} \cdot b_{p1} \\ |
− | c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} | + | c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + \dots + a_{1p} \cdot b_{p2} \\ |
− | c_{1q} = a_{11} \cdot b_{1q} | + | c_{1q} = a_{11} \cdot b_{1q} + a_{12} \cdot b_{2q} + \dots + a_{1p} \cdot b_{pq} \\ |
− | \vdots | + | \vdots \\ |
− | c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} | + | c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} + \dots + a_{2p} \cdot b_{p1}\\ |
− | \vdots | + | \vdots \\ |
− | c_{nq} = a_{n1} \cdot b_{1q} | + | c_{nq} = a_{n1} \cdot b_{1q} + a_{n2} \cdot b_{2q}+ \dots + a_{np} \cdot b_{pq}$$ |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
Konkret heißt das an einem Beispiel: | Konkret heißt das an einem Beispiel: | ||
+ | |||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
− | | | + | || |
− | | $ \begin{pmatrix} 8 &1 & 3 \\ | + | ||$ \begin{pmatrix} 8 &1 & 3 \\9 & 0 & 5 \\ |
− | 9 & 0 & 5 \\ | + | |
\end{pmatrix} $ | \end{pmatrix} $ | ||
|- | |- | ||
− | | $ \begin{pmatrix} | + | ||$ \begin{pmatrix} 2 & 5 \\4 & 7 \\ |
− | 4 & 7 \\ | + | |
\end{pmatrix} $ | \end{pmatrix} $ | ||
− | | $ \begin{pmatrix} | + | ||$ \begin{pmatrix} |
c_{11} & c_{12} & c_{13}\\ | c_{11} & c_{12} & c_{13}\\ | ||
c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ | c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ | ||
\end{pmatrix} $ | \end{pmatrix} $ | ||
|} | |} | ||
− | + | ||
Wobei | Wobei | ||
− | $$c_{11} = 2 \cdot 8 | + | $$c_{11} = 2 \cdot 8 + 5 \cdot 9 = 61\\ |
− | c_{12} = 2 \cdot 1 | + | c_{12} = 2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 =2\\ |
− | c_{13} = | + | c_{13} = 2 \cdot 3 + 5 \cdot 5 =31\\ |
− | c_{21} = 4 \cdot 8 | + | c_{21} = 4 \cdot 8 + 7 \cdot 9 =95\\ |
− | c_{22} = 4 \cdot 1 | + | c_{22} = 4 \cdot 1 + 7 \cdot 0 =4\\ |
− | c_{23}= 4 \cdot 3 | + | c_{23}= 4 \cdot 3 + 7 \cdot 5 =47$$ |
− | + | ||
− | + | ||
Also | Also | ||
− | $$ \begin{pmatrix} | + | $$\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ |
− | + | ||
− | + | ||
4 & 7 \\ | 4 & 7 \\ | ||
− | \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | + | |
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \cdot | ||
+ | \begin{pmatrix} 8 &1 & 3 \\ | ||
+ | 9 & 0 & 5 \\ | ||
+ | |||
+ | \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | ||
61 & 2 & 31\\ | 61 & 2 & 31\\ | ||
95 & 4 & 47 \\ | 95 & 4 & 47 \\ | ||
Zeile 393: | Zeile 462: | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
$ | $ | ||
− | |||
− | |||
Zeile 400: | Zeile 467: | ||
|2= $C= \begin{pmatrix} | |2= $C= \begin{pmatrix} | ||
− | 45 21 0& 35-42 2\\ | + | 45+ 21+ 0& 35-42+ 2\\ |
− | 72-3 0 &56 6 8\\ | + | 72-3 +0 &56+ 6+ 8\\ |
\end{pmatrix}= | \end{pmatrix}= | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
Zeile 410: | Zeile 477: | ||
}} | }} | ||
− | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Multipliziere die beiden Matrizen und füge die Zahlen der Lösungsmatrix in die Zellen ein, dann klicke auf überprüfen. | ||
+ | |||
+ | <ggb_applet width="800" height="300" version="5.0" id=aUjggvwq /> | ||
+ | |||
+ | =Gozinto-Graphen= | ||
+ | ==Gozinto-Graphen== | ||
Gonzinto-Graphen dienen der Veranschaulichung der Zusammenhänge zwischen Roh-, Zwischen- und Endprodukten. Die Knoten stellen dabei die Teile dar und die Pfeile oder auch gerichtete Kanten die Mengenbeziehungen. | Gonzinto-Graphen dienen der Veranschaulichung der Zusammenhänge zwischen Roh-, Zwischen- und Endprodukten. Die Knoten stellen dabei die Teile dar und die Pfeile oder auch gerichtete Kanten die Mengenbeziehungen. | ||
Zeile 418: | Zeile 492: | ||
In der Abbildung des Gozintographen wird der Zusammenhang zwischen den Rohstoffen $R_1 , R_2$ und $R_3$ mit den Zwischenprodukten $Z_1, Z_2, Z_3$ und den Endprodukten $E_1, E_2$ dargestellt. | In der Abbildung des Gozintographen wird der Zusammenhang zwischen den Rohstoffen $R_1 , R_2$ und $R_3$ mit den Zwischenprodukten $Z_1, Z_2, Z_3$ und den Endprodukten $E_1, E_2$ dargestellt. | ||
+ | [[Datei:gozinto.pdf|400px|mini|Beispiel eines Gozintographen]] | ||
− | + | In einer Tabelle kann der Zusammenhang wie folgt aufgelistet werden: | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | In einer Tabelle kann der Zusammenhang wie folgt aufgelistet werden: | + | |
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
− | ! | + | !| |
− | ! $Z_1$ | + | !|$Z_1$ |
− | ! $Z_2$ | + | !|$Z_2$ |
− | ! $Z_3$ | + | !|$Z_3$ |
|- | |- | ||
− | | $R_1$ | + | ||$R_1$ |
− | | 2 | + | ||2 |
− | | 5 | + | ||5 |
− | | 3 | + | ||3 |
|- | |- | ||
− | | $R_2$ | + | ||$R_2$ |
− | | 8 | + | ||8 |
− | | 9 | + | ||9 |
− | | 1 | + | ||1 |
|- | |- | ||
− | | $R_3$ | + | ||$R_3$ |
− | | 6 | + | ||6 |
− | | 4 | + | ||4 |
− | | 2 | + | ||2 |
|} | |} | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
− | ! ! | + | !| |
+ | !|$E_1$ | ||
+ | !|$E_2$ | ||
|- | |- | ||
− | | $Z_1$ || 12 || 5 | + | ||$Z_1$ |
+ | ||12 | ||
+ | ||5 | ||
|- | |- | ||
− | | $Z_2$ || 11 || 8 | + | ||$Z_2$ |
+ | ||11 | ||
+ | ||8 | ||
|- | |- | ||
− | | $Z_3$ || 2 || 4 | + | ||$Z_3$ |
+ | ||2 | ||
+ | ||4 | ||
|} | |} | ||
− | |||
Die Tabelle kann aber ebenso in Matrixform umgeschrieben werden, wobei die Matrix $RZ$ den Zusammenhang der Rohstoffe mit den Zwischenprodukten und $ZE$ den der Zwischenprodukte mit den Endprodukten beschreibt. | Die Tabelle kann aber ebenso in Matrixform umgeschrieben werden, wobei die Matrix $RZ$ den Zusammenhang der Rohstoffe mit den Zwischenprodukten und $ZE$ den der Zwischenprodukte mit den Endprodukten beschreibt. | ||
− | $$ | + | $$ RZ= |
− | RZ= | + | |
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
− | 2 & 5 & 3 | + | 2 & 5 & 3 \\8 & 9 &1 \\ 6&4&2\\ |
− | 8 & 9 &1 | + | |
− | 6&4&2\\ | + | |
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
$$ | $$ | ||
$$ | $$ | ||
− | ZE= | + | ZE=\begin{pmatrix} |
− | \begin{pmatrix} | + | 12 & 5 \\ |
− | 12 & 5 | + | 11 & 8 \\ |
− | 11 & 8 | + | |
2&4\\ | 2&4\\ | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
Zeile 482: | Zeile 555: | ||
Um eine Matrix zu erhalten, welche den Rohstoffbedarf für die Endprodukte beschreibt wird die Matrix $RZ$ mit der Matrix $ZE$ multipliziert. In unserem Beispiel ergibt das | Um eine Matrix zu erhalten, welche den Rohstoffbedarf für die Endprodukte beschreibt wird die Matrix $RZ$ mit der Matrix $ZE$ multipliziert. In unserem Beispiel ergibt das | ||
− | \begin{equation*} | + | \begin{equation*} RE= RZ \cdot ZE= \begin{pmatrix} |
− | RE= RZ \cdot ZE= \begin{pmatrix} | + | 24 +55+ 6 & 10 +40+ 12\\ |
− | 24 55 6 & 10 40 12\\ | + | 96 +99 +2 & 40+ 72+ 4\\ |
− | 96 99 2 & 40 72 4\\ | + | 72 +44+ 4 & 30+ 32+ 8\\ |
− | 72 44 4 & 30 32 8\\ | + | \end{pmatrix} |
− | \end{pmatrix}= | + | = |
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
85 &62\\ | 85 &62\\ | ||
Zeile 502: | Zeile 575: | ||
Der '''Inputvekor''' beschreibt die benötigten Rohstoffe. | Der '''Inputvekor''' beschreibt die benötigten Rohstoffe. | ||
− | + | =Input-Output-Matrix: Leontief-Modell= | |
==Input-Output-Matrix: Leontief-Modell== | ==Input-Output-Matrix: Leontief-Modell== | ||
− | + | Eine '''Input-Output-Tabelle''' für die Firmen A, B und C, mit $x_i=\sum_{k=1}^{3} x_{ik} y_i$, wobei $i=j$ den Eigenbedarf einer Firma beschreibt, wird in der folgenden Tabelle aufgezeigt. | |
− | Eine '''Input-Output-Tabelle''' für die Firmen A, B und C, mit $x_i=\sum_{k=1}^{3} x_{ik} | + | |
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
− | ! Input / Output ! | + | !|Input / Output |
+ | !|A | ||
+ | !|B | ||
+ | !|C | ||
+ | !|Markt / Konsum | ||
+ | !|Gesamtproduktion | ||
|- | |- | ||
− | | A || $x_{11}$ || $x_{12}$ || $x_{13}$ || $y_{1}$ || $x_{1}$ | + | ||A |
+ | ||$x_{11}$ | ||
+ | ||$x_{12}$ | ||
+ | ||$x_{13}$ | ||
+ | ||$y_{1}$ | ||
+ | ||$x_{1}$ | ||
|- | |- | ||
− | | B || $x_{21}$ || $x_{22}$ || $x_{23}$ || $y_{2}$ || $x_{2}$ | + | ||B |
+ | ||$x_{21}$ | ||
+ | ||$x_{22}$ | ||
+ | ||$x_{23}$ | ||
+ | ||$y_{2}$ | ||
+ | ||$x_{2}$ | ||
|- | |- | ||
− | | C || $x_{31}$ || $x_{32}$ || $x_{33}$ || | + | ||C |
+ | ||$x_{31}$ | ||
+ | ||$x_{32}$ | ||
+ | ||$x_{33}$ | ||
+ | ||$y_{3}$ | ||
+ | ||$x_{3}$ | ||
|} | |} | ||
+ | In einem Gozinto-Graphen kann dies, wie rechts unten zu sehen ist, dargestellt werden: | ||
− | + | [[Datei:inpuoutput.pdf|400px]] | |
− | |||
− | |||
− | |||
Zeile 530: | Zeile 620: | ||
$P=\begin{pmatrix} | $P=\begin{pmatrix} | ||
+ | |||
x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ | x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ | ||
− | x_{21} & | + | x_{21} & x_{22} & x_{23} \\x_{31} & x_{32} & x_{33}\\ |
− | x_{31} & | + | |
\end{pmatrix}.$ | \end{pmatrix}.$ | ||
Zeile 539: | Zeile 629: | ||
Die Input-Output-Matrix ergibt sich dann zu: | Die Input-Output-Matrix ergibt sich dann zu: | ||
$M=\begin{pmatrix} | $M=\begin{pmatrix} | ||
+ | |||
\frac{x_{11}}{x_1} & \frac{x_{12}}{x_2} & \frac{x_{13}}{x_3} \\ | \frac{x_{11}}{x_1} & \frac{x_{12}}{x_2} & \frac{x_{13}}{x_3} \\ | ||
− | \frac{x_{21}}{x_1} & | + | \frac{x_{21}}{x_1} & \frac{x_{22}}{x_2} & \frac{x_{23}}{x_3} \\ |
− | \frac{x_{31}}{x_1} & | + | \frac{x_{31}}{x_1} & \frac{x_{32}}{x_2} & \frac{x_{33}}{x_3}\\ |
\end{pmatrix}.$ | \end{pmatrix}.$ | ||
Zeile 548: | Zeile 639: | ||
+ | {{Vorlage:Beispiel|1= Gib die Input-Output-Matrix zu folgendem Gozintographen an: | ||
+ | [[Datei:beispiel_inpuoutput.pdf|400px]] | ||
+ | |2= $M=\begin{pmatrix} | ||
+ | \frac{10}{43} & \frac{5}{68} & \frac{20}{64} \\ | ||
+ | \frac{15}{43} & \frac{15}{68} & \frac{36}{64} \\\frac{25}{43} & \frac{4}{68} & \frac{22}{64}\\ | ||
+ | \end{pmatrix} \approx | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 0,233 & 0,074 & 0,313 \\ | ||
+ | 0,349 & 0,221 & 0,563\\ | ||
+ | 0,581 & 0,059 & 0,344\\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | $}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | =Saklierungsmatrix= | ||
+ | <span style="background-color: #ffd700;"> Dieser und die folgenden Abschnitte sind nur für HTL-SchhülerInnen relevant. </span> | ||
+ | |||
+ | ==Saklierungsmatrix== | ||
+ | Um einen Vektor zu stauchen oder zu strecken, wird er mit einem Faktor multipliziert. | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | x'&=x \cdot s_x\\ | ||
+ | y'&=y\cdot s_y \\ | ||
+ | z' &= z \cdot s_z | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | In Matrixform kann er mit der Skalierungsmatrix multipliziert werden. | ||
+ | |||
+ | $$U=\begin{pmatrix}s_x & 0 & 0\\ | ||
+ | 0 & s_y & 0 \\ | ||
+ | 0& 0 &s_z \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | Dabei gibt $s_x$ die Skalierung in x-Richtung, $s_y$ die Skalierung in y-Richtung und $s_z$ die Skalierung in z-Richtung an. | ||
+ | |||
+ | [[Datei:skalierung wuerfel a.png|thumb|Skalierung eines Würfels]] | ||
+ | [[Datei:skalierung wuerfel b.png|thumb|Skalierung eines Würfels]] | ||
+ | |||
+ | =Drehung= | ||
+ | ==Drehung== | ||
+ | Die Drehung ist ein Beispiel für die Anwendung und Motivation der Matrizenmultiplikation. In $\mathbb{R}^2$ und $\alpha \in [0, 2 \pi[$ wird die Drehung (gegen den Uhrzeigersinn) eines Vektors $v$ um den Winkel $\alpha $ durch die Multiplikation des Vektors mit der Drehmatrix $$R_{\alpha} | ||
+ | |||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | erreicht: $v'=R_\alpha \cdot v$. | ||
+ | |||
+ | In $\mathbb{R}^3$ ergeben sich für die Drehungen um die | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | * x-Achse: | ||
+ | |||
+ | $$R_x(\alpha)=\begin{pmatrix}1&0 & 0\\ | ||
+ | 0& \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ | ||
+ | 0& \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | * y-Achse: | ||
+ | |||
+ | $$R_y(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha) &0 & \sin(\alpha) \\ | ||
+ | 0& 1 & 0 \\ | ||
+ | - \sin(\alpha)& 0 & \cos(\alpha) \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | * z-Achse | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $$R_z(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) & 0\\ | ||
+ | \sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ | ||
+ | 0& 0 & 1 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {{Vorlage:Beispiel|1= Welche Koordinaten erhältst du , wenn der Würfel mit den Eckpunkten | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | A=\begin{pmatrix} | ||
+ | 0\\ 0\\ 0\\ | ||
+ | \end{pmatrix}, & & | ||
+ | B=\begin{pmatrix} | ||
+ | 2\\ 0 \\ 0\\ | ||
+ | \end{pmatrix}, & & | ||
+ | C=\begin{pmatrix} | ||
+ | 2\\ 2 \\ 0\\ | ||
+ | \end{pmatrix}, & & | ||
+ | D=\begin{pmatrix} | ||
+ | 0 \\ 2 \\ 0\\ | ||
+ | \end{pmatrix}, \\ | ||
+ | E=\begin{pmatrix} | ||
+ | 0 \\ 0 \\2 \\ | ||
+ | \end{pmatrix}, & & | ||
+ | F=\begin{pmatrix} | ||
+ | 2 \\ 0 \\2 \\ | ||
+ | \end{pmatrix}, & & | ||
+ | G=\begin{pmatrix} | ||
+ | 2 \\ 2\\ 2\\ | ||
+ | \end{pmatrix}, & & | ||
+ | H=\begin{pmatrix} | ||
+ | 0 \\2 \\2\\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | um die x-Achse um den Winkel $\alpha= 45^{\circ}$ gedreht wird? | ||
+ | |||
+ | |2= Unter der Verwendung der Drehmatrix | ||
+ | $R_x(45^{\circ}) =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& \cos5^{\circ}) & -\sin(45^{\circ}) \\ 0 & \sin(45^{\circ}) & \cos(45^{\circ}) \\ \end{pmatrix} | ||
+ | |||
+ | = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2} } & -\frac{1}{\sqrt{2} } \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{2} } \\ \end{pmatrix}$ ergeben sich die Punkte des gedrehten Würfels durch die Muliplikation des ursprünglichen Punktes mit der Rotationsmatrix | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | A_x= A\cdot R_x(45^{\circ}) = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}, & & | ||
+ | B_x=\begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 0\\ \end{pmatrix}, & & | ||
+ | C_x=\begin{pmatrix} 2\\ \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \\ \end{pmatrix}, & & | ||
+ | D_x=\begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt{2} \\ \sqrt{2}\\ \end{pmatrix}, \\ | ||
+ | E_x=\begin{pmatrix} 0 \\ -\sqrt{2} \\\sqrt{2} \\ \end{pmatrix}, & & | ||
+ | F_x=\begin{pmatrix} 2 \\ -\sqrt{2} \\\sqrt{2} \\ \end{pmatrix}, & & | ||
+ | G_x=\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ 2\sqrt{2}\\ \end{pmatrix}, & & | ||
+ | H_x=\begin{pmatrix} 0 \\0 \\2\sqrt{2}\\ \end{pmatrix}. | ||
+ | \end{align*} }} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Datei:wuerfel_x.png|thumb|right|400px|Drehung des Würfels um die x-Achse]] | ||
+ | |||
+ | =homogene Koordinaten= | ||
+ | ==homogene Koordinaten== | ||
+ | Homogene Koordinaten werden zum Beispiel verwendet wenn eine Verschiebung eines Vektors durchgeführt werden soll, also wenn eine nicht lineare Transformation stattfindet. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Euklidische Koordinaten in $\mathbb{R}^3$ werden wie folgt in homogenen Koordinaten umgeschrieben | ||
+ | $$\begin{pmatrix} | ||
+ | x\\ y\\ z | ||
+ | \end{pmatrix} \mapsto | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | x \\ y\\ z\\1 | ||
+ | \end{bmatrix} .$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | =Schiebung= | ||
+ | ==Schiebung== | ||
+ | Die Schiebung eines Vektors $\begin{pmatrix} | ||
+ | x\\ y\\ | ||
+ | \end{pmatrix}$ um den Vektor $\begin{pmatrix} | ||
+ | t_x \\ t_y \\ | ||
+ | \end{pmatrix}$ ist nicht linear und deshalb müssen die Koordinaten in homogenen Koordinaten geschrieben werden, damit man die Schiebung in Matrixform schreiben kann. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | So erhält man für die Translation: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | x'&=x + t_z \\ | ||
+ | y'&= y +t_y \\ | ||
+ | \end{align*} $\Rightarrow$ | ||
+ | |||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | x'\\ y' \\ 1\\ | ||
+ | \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 &0&t_x\\ | ||
+ | 0&1& t_y\\ | ||
+ | 0&0&1\\ | ||
+ | \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} | ||
+ | x\\ y\\1\\ | ||
+ | \end{pmatrix}. | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Im $\mathbb{R}^3$ ergibt sich für die Schiebung | ||
+ | |||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | T_3=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1&0 &0&t_x \\ | ||
+ | 0& 1 &0&t_y \\ | ||
+ | 0&0&1& t_z \\ | ||
+ | 0&0&0&1 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Datei:schiebung wuerfel b.png|thumb|right|400px|Schiebung eines Würfels]] | ||
+ | |||
+ | =Spiegelung= | ||
+ | ==Spiegelung== | ||
+ | Die Spiegelung ist ein Sonderfall der Skalierung mit entweder $s_x=-1$, $s_y=-1$ oder $s_z=-1$, je nachdem um welche Achse gespiegelt werden soll, die anderen Skalierungsfaktoren sollen dabei den Wert $1$ annehmen. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Es ergeben sich also die verschiedenen Spiegelungsmatrizen, je nach Spiegelungsachse: | ||
+ | im $\mathbb{R}^2$: | ||
+ | |||
+ | * um die x-Achse: | ||
+ | |||
+ | $S_x=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1&0 \\ | ||
+ | 0& -1 \\ | ||
+ | \end{pmatrix}$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | * um die y-Achse: | ||
+ | |||
+ | $S_y=\begin{pmatrix}-1&0 \\ | ||
+ | 0& 1 \\ | ||
+ | \end{pmatrix}$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Datei:computerspiele.png|thumb|right|400px|Spiegelung]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | -im $\mathbb{R}^3$ | ||
+ | |||
+ | * um die yz-Ebene: | ||
+ | |||
+ | \begin{equation*} S_{yz}= | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | -1&0 &0\\0& 1 &0\\ | ||
+ | 0&0&1 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | * um die xz-Ebene: | ||
+ | |||
+ | \begin{equation*} S_{xz}= | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 1&0 &0\\0& -1 &0\\ | ||
+ | 0&0&1 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | * um die xy-Ebene: | ||
+ | |||
+ | \begin{equation*} S_{xy}= | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 1&0 &0\\0& 1 &0\\ | ||
+ | 0&0&-1 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Spiegelung an einer Geraden=== | ||
+ | Die Spiegelung eines Punktes im $\mathbb{R}^2$ an einer Gerade $g: y=ax+b$ erfolgt in homogenen Koordinaten in den folgenden fünf Schritten: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | 1.) Das Koordinatensystem so verschieben, dass die Spiegelungsachse durch den Koordinatenursprung geht. | ||
+ | |||
+ | 2.) Die Spiegelungsachse soll um den Winkel $\arctan(a)$ gedreht werden, so dass sie mit der x-Achse zusammenfällt. | ||
+ | |||
+ | 3.) Spieglung an der x-Achse. | ||
+ | |||
+ | 4.) In Ausgangsposition zurückdrehen, also Schritt 2) in die andere Richtung. | ||
+ | |||
+ | 5.) Die Spiegelungsachse zurück schieben, also wie in Schritt 1), nur in die andere Richtung schieben. | ||
+ | |||
+ | Damit die Matrizen alle miteinander multipliziert werden können, müssen sie in den selben Koordinaten geschrieben werden, da eine Translation angewendet wird, sollten alle Matrizen in homogenen Koordinaten angeschrieben werden. | ||
+ | |||
+ | Für die jeweiligen Schritte gibt es eine passende Matrix, werden die fünf Matrizen miteinander multipliziert erhält man die Spiegelungsmatrix um die Gerade $g$, mit $arctan(a):=t$. | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 0 & 0\\ | ||
+ | 0 & 1 & b \\ | ||
+ | 0& 0 & 1 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | |||
+ | \cdot | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | \cos\left(t\right) & -\sin\left(t\right) & 0\\ | ||
+ | \sin\left(t\right) & \cos\left(t\right) & 0 \\ | ||
+ | 0& 0 & 1 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \cdot\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 0 & 0\\ | ||
+ | 0 & -1 & 0 \\ | ||
+ | 0& 0 & 1 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \cdot | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | \cos\left(-t\right) & -\sin\left(-t\right) & 0\\ | ||
+ | \sin\left(-t\right) & \cos\left(-t\right) & 0 \\ | ||
+ | 0& 0 & 1 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \cdot | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 0 & 0\\ | ||
+ | 0 & 1 & -b \\ | ||
+ | 0& 0 & 1 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | $$ | ||
− | == Matura-Aufgaben== | + | =Matura-Aufgaben= |
+ | ==Matura-Aufgaben== | ||
+ | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=127&file=RGB-Farbmodell.pdf RGB-Farbmodell}} | ||
+ | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=71&file=Spiegelung_an_einer_Geraden.pdf "Spiegelung an einer Geraden"}} | ||
+ | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://www.michael-leitgeb.at/srdp/teilb1/Farben_2/Farben_2.pdf "Farben (2)"}} | ||
+ | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://www.michael-leitgeb.at/srdp/teilb1/KP1_16_C2_06/KP1_16_C2_06.pdf" "KP1_16_C2_06}} | ||
− | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= | + | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://www.michael-leitgeb.at/srdp/teilb1/Teemischung/Teemischung.pdf "Teemischung"}} |
+ | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://www.michael-leitgeb.at/srdp/teilb1/Rohstoffbedarf/Rohstoffbedarf.pdf "Rohstoffbedarf"}} | ||
+ | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://www.michael-leitgeb.at/srdp/teilb1/Konfiserie/Konfiserie.pdf "Konfiserie"}} | ||
+ | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=525&file=Zweistufige_Produktion.pdf "Zweistufige Produktion"}} | ||
+ | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=530&file=Kosten_und_Gewinn.pdf "Kosten und Gewinn"}} |
Aktuelle Version vom 29. Mai 2019, 10:45 Uhr
Die Matrizenrechnung ist ein nützliches Werkzeug, um ein Gleichungssystem mit vielen linearen Gleichungen zu lösen oder auch um Tabellen übersichtlich darzustellen, also um lineare Zusammenhänge zwischen mehreren Größen herzustellen.