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| − | == Nullstelle == | + | == Nullstellen == |
| − | [[Datei:Kurvendiskussion-1.png|thumb|right|350px|Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet.]]
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| − | | '''Definition:'''
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| − | | Nullstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0)
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| − | '''Formale Definition:'''
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| − | Die Funktion f(x) hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: f(x)=0
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| − | === Berechnung von Nullstellen ===
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| − | Um die Nullstellen zu berechnen, müssen alle x berechnet werden, für die gilt, dass f(x)=0 ist. Je nach Funktionstyp von f(x) kann entweder x einfach freigestellt werden oder ein Lösungsverfahren ([[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]], [[graphisches Lösungsverfahren im TR]], [[Solve-Befehl]]) verwendet werden.
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| − | Als Richtwert, kanns du dir aber folgende Regel merken:
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| − | # Bei linearen Gleichungen 0=kx+d: [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Nach x umformen]].
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| − | # Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: [[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]]
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| − | # Bei gleichungen mit [[Grad]] $\ge 3$: [[graphisches Lösungsverfahren im TR]]
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| − | === Musterbeispiele ===
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> a) Bestimme die Nullstelle der linearen Funktion $f(x)=-2x+4$ </span>
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| − | <div class="mw-collapsible-content">
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| − | [[Datei:Linfkt-nullstelle.png|thumb|180px|right]]
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| − | '''Lösung:'''
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| − | $$0=-2x+4 \ \ |-4$$
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| − | $$ -4=-2x \ \ |:(-2)$$
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| − | $$2=x$$
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| − | '''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N(2|0)$ die x-Achse.
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> b) Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>
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| − | <div class="mw-collapsible-content">
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| − | '''Lösung:'''
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| − | $$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
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| − | Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit a=-1, b=6 und c=-5
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| − | $$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
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| − | [[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
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| − | $$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
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| − | $$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
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| − | $$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
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| − | $$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
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| − | '''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
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| − | </div>
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> a) Bestimme die Nullstelle der kubischen Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$ (siehe Abbildung rechts oben). </span>
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| − | <div class="mw-collapsible-content">
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| − | '''Lösung mithilfe des [[graphisches Lösungsverfahren im TR]] oder dem [[Löse-Verfahren (GeoGebra)]]'''
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| − | $x_1=-1.9,\ x_2=6$ und $ x_3=7.9$
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| − | </div>
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| | == Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte == | | == Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte == |
Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..
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$f(x)$
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$f'(x)$
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$f''(x)$
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| Gibt an ...
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den Funktionswert an der Stelle x
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die Steigung von f an der Stelle x
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die Krümmung von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)
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| physikalische Interpretation
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Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
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momentane Änderungsrate/Geschwindigkeit an der Stelle x
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Beschleunigung an der Stelle x
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| wenn $>0$
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Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
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$f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
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$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.
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| wenn $<0$
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Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
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$f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend. Die Entfernung nimmt ab.
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$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.
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| wenn $=0$
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Nullstelle
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Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein Extremum.
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Möglicherweise befindet sich hier ein Wendepunkt.
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