Zins- und Zinseszinsrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Anna hat $K_0$ Euro auf der Bank bei einer jährichen Verzinsung von i % p.a. (per anno = pro Jahr). Somit erhält sie nach einem Jahr zusätzlich "i % von $K_0$".Das Kapital nach einem Jahr beträgt dann $$K_1=K_0+\textrm{ i % von } K_0$$ $$K_1=K_0+\frac{i}{100}\cdot K_0$$ $$K_1=K_0\cdot (1+\frac{i}{100} )$$

Nun will Anna das Geld aber schon nach 7 Monaten abheben. Da die Bank ihr 5 % für das ganze Jahr versprochen hat, Anna das Geld aber bereits nach $\frac{7}{12}$ des Jahres abhebt, erhält sie nur $\frac{7}{12}$ der Zinsen. Damit ergibt sich: $$K_{ \frac{7}{12} }=K_0+\frac{7}{12}\textrm{ der i }\% \textrm{ von } K_0$$ $$K_{\frac{7}{12} }=K_0 + \frac{7}{12} \frac{i}{100}\cdot K_0$$ $$K_{\frac{7}{12} }=K_0\cdot (1+ \frac{i}{100} \cdot \frac{7}{12})$$

Verallgemeinerung:

Angenommen das Kapital liegt nicht $\frac{7}{12})$ des Jahres auf dem Konto, sondern $n$, wobei $n$ die Zeit in Jahren angibt, so gilt: $$K_{\frac{7}{12} }=K_0\cdot (1+ \frac{i}{100} \cdot n)$$

• $K_0 =30 $
• $n = \frac{9}{12} $
• $K_{\frac{9}{12} } = $?
• $i_{eff} = 5$ %

$$ K_{\frac{9}{12} }=30\cdot (1+\frac{5}{100}\cdot \frac{9}{12} ) $$ $$ \underline{\underline{K_1 = 31.13} } $$

Antwort: Nach 9 Monaten beträgt das Endkapital € 31.13.

• $K_0=30$
• $K_n=$ ?
• $i_{eff}=5$ %
• $n=4$

$$ K_n=K_0\cdot (1+\frac{i_{eff} }{100}\cdot n$$ $$ K_4 = 30 \cdot (1+\frac{5}{100} \cdot 4)$$ $$ K_4=36$$ $$ \underline{\underline{K_n=36} }$$
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.

Lösung

• $K_0=75$
• $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
• $K_\frac{4}{12}=$?
• $i=4$ %

$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$ $$ K_\frac{4}{12}=76 $$

Antwort: Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.

• $K_0=800$
• $n=2$
• $i=2.5\ \% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\ \%$
• $K_2=$?

$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$ $$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$

• $K_0=$?
• $n=3$
• $i=2.5 \% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875 \%$
• $K_3=1500$

$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$ $$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$ $$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$

• $K_0=100$
• $n=?$
• $i=2.5 \% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875 \%$
• $K_n=200$

$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$ $$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$ $$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$ $$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$ $$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$ Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.

• $K_0=100$?
• $n=7$
• $i=? \%$
• $K_7=118.87$

$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$ $$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$ $$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$ $$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$ Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$ % p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$ % p.a. liegen.

Problem: Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$ %. Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einmal im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$ %p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$ %p.s. Für was sollen wir uns entscheiden?

Antwort:

1. Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
2. Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:

$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^{12}=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz zu berechnen.

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist wie der m-mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$ Kürzt man $K_0$, so erhält man: $$r_1=(r_m)^m$$ bzw. $$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

Antwort: Der Quartalszinssatz beträgt 1.23 % p.a.

Antwort: Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82 % p.a.

$$ i_4=\frac{i}{4}=\frac{4 \textrm{ %} }{4}=1 \textrm{ % p.q.} $$

2. Schritt: Anschließend wird mithilfe des Quartalszinssatzes der konforme Monatszinssatz berechnet. $$ (r_{12})^3=r_4 $$ $$\textrm{ Hinweis: Wenn man drei Monate verzinst (=}(r_{12})^3 \textrm{), so verzinst man insgesamt ein ganzes Quartal (=}r_4 ) $$ $$ r_{12}=\sqrt[3]{1.01} $$ $$ r_{12}=1.003322 \rightarrow i_{12}=0.003322 \textrm{ % p.m.} $$ A: Der konforme Monatszinssatz beträgt 0.3322 % p.m.