Mengenlehre: Unterschied zwischen den Versionen
(→Darstellung im beschreibenden Verfahren) |
|||
| Zeile 29: | Zeile 29: | ||
=== Mengen-/Venn-Diagramme === | === Mengen-/Venn-Diagramme === | ||
Um eine Menge grafisch zu veranschaulichen, verwenden wir Mengendiagramme. Diese werden auch Venn-Diagramme genannt, da die Verwendung solcher Diagramme vom britischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/John_Venn John Venn] eingeführt wurde. | Um eine Menge grafisch zu veranschaulichen, verwenden wir Mengendiagramme. Diese werden auch Venn-Diagramme genannt, da die Verwendung solcher Diagramme vom britischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/John_Venn John Venn] eingeführt wurde. | ||
| + | [[Datei:venn1.png|thumb|center|300px|Darstellung eines Venndiagramms der Menge A={a, b, c, d, e, f}]] | ||
| − | |||
| Zeile 38: | Zeile 38: | ||
|2= | |2= | ||
| − | + | [[Datei:bsp1-mengenl.png|thumb|300px|center|Venn-Diagramm der Menge A.]] | |
}} | }} | ||
| Zeile 55: | Zeile 55: | ||
! aufzählendes Verfahren !! Mengendiagrammm !! beschreibendes Verfahren | ! aufzählendes Verfahren !! Mengendiagrammm !! beschreibendes Verfahren | ||
|- | |- | ||
| − | | M={Frühling, Sommer, Herbst, Winter} || | + | | M={Frühling, Sommer, Herbst, Winter} || [[Datei:bsp2-mengenl.png|thumb|center|200px]]||M ist die Menge der Jahreszeiten eines Jahres. |
|- | |- | ||
| − | | B={1,2,3,4,5} || | + | | B={1,2,3,4,5} || [[Datei:bsp3-mengenl.png|thumb|200px|center]]|| $$B=\{x\in \mathbb{N}\vert 1\leq x\leq 5\}$$ |
$$\textrm{"B ist die Menge aller natürlichen Zahlen, für die gilt,}\\ \textrm{dass x größer gleich 1 und kleiner gleich 5 ist"}$$ | $$\textrm{"B ist die Menge aller natürlichen Zahlen, für die gilt,}\\ \textrm{dass x größer gleich 1 und kleiner gleich 5 ist"}$$ | ||
|} | |} | ||
| Zeile 64: | Zeile 64: | ||
== Mengenoperationen == | == Mengenoperationen == | ||
=== Teilmenge und leere Menge === | === Teilmenge und leere Menge === | ||
| + | [[Datei:intro-teilmenge.png|thumb|300px|right|$A\subseteq B$, d.h. $B ist Teilmenge von A$]] | ||
Teilmengen sind Mengen, die aus einem Teil aller Elemente einer anderen Menge bestehen. Formal definiert gilt: | Teilmengen sind Mengen, die aus einem Teil aller Elemente einer anderen Menge bestehen. Formal definiert gilt: | ||
| Zeile 80: | Zeile 81: | ||
$$B=\{Anna, Sandra, Julia\}$$ | $$B=\{Anna, Sandra, Julia\}$$ | ||
| − | + | [[Datei:bsp-teilmenge.png|thumb|center|300px|Die Teilmenge B beinhaltet einen Teil der Elemente aus A.]] | |
}} | }} | ||
| Zeile 112: | Zeile 113: | ||
=== Durchschnitt von Mengen - "und"-Operation === | === Durchschnitt von Mengen - "und"-Operation === | ||
| − | + | [[Datei:intro-schnitt.png|thumb|300px|right|Die Schnittmenge $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente, die in beiden Mengen liegen.]] | |
{{Vorlage:Definition|1= Der Durchschnitt zweier Mengen $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die sowohl in $A$ auch in $B$ einthalten sind}} | {{Vorlage:Definition|1= Der Durchschnitt zweier Mengen $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die sowohl in $A$ auch in $B$ einthalten sind}} | ||
| Zeile 127: | Zeile 128: | ||
Somit gilt: | Somit gilt: | ||
$$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$$ | $$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$$ | ||
| − | + | [[Datei:bsp-schnitt.png|thumb|300px|center|Schnittmenge $A\cap B$]] | |
'''Interpretiere die Durschnittsmenge.''' | '''Interpretiere die Durschnittsmenge.''' | ||
| Zeile 145: | Zeile 146: | ||
=== Vereinigung von Mengen - "oder"-Operation === | === Vereinigung von Mengen - "oder"-Operation === | ||
| − | + | [[Datei:intro-vereinigung.png|thumb|300px|right|Die Vereinigungsmenge $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente, die in einer der beiden oder in beiden Mengen liegen.]] | |
{{Vorlage:Definition|1= Die Vereinigung zweier Mengen $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die | {{Vorlage:Definition|1= Die Vereinigung zweier Mengen $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die | ||
* in $A$ enthalten oder | * in $A$ enthalten oder | ||
| Zeile 166: | Zeile 167: | ||
Somit gilt: | Somit gilt: | ||
$$S\cup M=\{Andreas,\ Anna,\ Anton,\ Julia,\ Leo,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra,\ Sebastian,\ Simon\}$$ | $$S\cup M=\{Andreas,\ Anna,\ Anton,\ Julia,\ Leo,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra,\ Sebastian,\ Simon\}$$ | ||
| − | + | [[Datei:bsp-vereinigung.png|thumb|300px|center|In der Vereinigungsmenge $A\cup B$ liegen alle Elemente aus $S$ und $M$.]] | |
| Zeile 188: | Zeile 189: | ||
=== Differenzen von Mengen - "ohne"-Operation === | === Differenzen von Mengen - "ohne"-Operation === | ||
| − | + | [[Datei:intro-differenz.png|thumb|300px|right|Differenzenmenge $A\setminus B$ ("A ohne B")]] | |
{{Vorlage:Definition|1= | {{Vorlage:Definition|1= | ||
| Zeile 208: | Zeile 209: | ||
Somit gilt: | Somit gilt: | ||
$$S\setminus M=\{ Andreas,\ Anna,\ Lukas,\ Sandra\}$$ | $$S\setminus M=\{ Andreas,\ Anna,\ Lukas,\ Sandra\}$$ | ||
| − | + | [[Datei:bsp-differenz.png|thumb|center|300px|In der Differenzenmenge $S\setminus M$ sind alle Elemente aus $S, die nicht in M sind.]] | |
| Zeile 231: | Zeile 232: | ||
=== Komplementärmenge $\bar{A}$ - "alles außer"-Operation=== | === Komplementärmenge $\bar{A}$ - "alles außer"-Operation=== | ||
| − | + | [[Datei:intro-kompl.png|thumb|300px|right|$\bar{B}=A\setminus B$]] | |
{{Vorlage:Definition|1= Gegeben sei eine Menge $A$ und eine Teilmenge $B$, mit $B\subseteq A$. | {{Vorlage:Definition|1= Gegeben sei eine Menge $A$ und eine Teilmenge $B$, mit $B\subseteq A$. | ||
| Zeile 252: | Zeile 253: | ||
Somit gilt: | Somit gilt: | ||
$$\bar{B}=\{ Andreas,\ Julia,\ Sandra\}$$ | $$\bar{B}=\{ Andreas,\ Julia,\ Sandra\}$$ | ||
| − | + | [[Datei:bsp-kompl.png|thumb|300px|center|Komplementärmenge $\bar{B}=A\setminus B$]] | |
| Zeile 271: | Zeile 272: | ||
! Symbol !! Bedeutung !! Grafik | ! Symbol !! Bedeutung !! Grafik | ||
|- | |- | ||
| − | | $\ | + | | $\subseteq || Teilmenge $B\subseteq A$ <br /> "B ist Teilmenge von A" || [[Datei:intro-teilmenge.png|thumb|200px|center]] |
|- | |- | ||
| − | | $\cap$ || Schnittmenge $A\cap B$ <br /> "sowohl in A als auch in B" || | + | | $\cap$ || Schnittmenge $A\cap B$ <br /> "sowohl in A als auch in B" || [[Datei:intro-schnitt.png|thumb|200px|center]] |
|- | |- | ||
| − | | $\cup$ || Vereinigungsmenge $A\cup B$ <br /> "in A oder in B oder in beiden" || | + | | $\cup$ || Vereinigungsmenge $A\cup B$ <br /> "in A oder in B oder in beiden" || [[Datei:intro-vereinigung.png|thumb|200px|center]] |
|- | |- | ||
| − | | $\setminus$ || Differenzenmenge $A\setminus B$ <br /> "A ohne B" || | + | | $\setminus$ || Differenzenmenge $A\setminus B$ <br /> "A ohne B" || [[Datei:intro-differenz.png|thumb|200px|center]] |
| + | |- | ||
| + | | $\bar{A}$ || Komplementärmenge <br />"alles außer A" || [[Datei:intro-kompl.png|thumb|200px|center]] | ||
|} | |} | ||
| − | + | ||
| − | + | {| border=1 align=center | |
| + | ! Dieses Applet gibt dir noch einmal einen graphischen Überblick der Mengenoperationen | ||
| + | |- | ||
| + | | <ggb_applet width="1100" height="550" version="5.0" id="SGrUtT4h" /> | ||
| + | |- | ||
| + | | Quelle: [[https://www.geogebra.org/onleindl Weindl]] | ||
| + | |} | ||
| + | |||
== Test == | == Test == | ||
Version vom 12. August 2016, 11:44 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Was ist eine Menge
|
Eine Menge $A$ ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Elementen. Die Elemente können dabei Zahlen, Objekte, Personen usw. sein.
|
In einer Spielgruppe können die Kinder in der Menge $A$ angegeben werden:
$$A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$$
Geben Sie die Mächtigkeit der Menge an.
| Übung zur Definition einer Menge |
|---|
| Quelle: Michael Ruhrländer |
Darstellung von Mengen
Mengen-/Venn-Diagramme
Um eine Menge grafisch zu veranschaulichen, verwenden wir Mengendiagramme. Diese werden auch Venn-Diagramme genannt, da die Verwendung solcher Diagramme vom britischen Mathematiker John Venn eingeführt wurde.
Gegeben ist die Menge $A$ mit
$$A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$$
Stellen Sie die Menge in einem Mengendiagramm grafisch dar.
Darstellung im aufzählenden Verfahren
Beim aufzählenden Verfahren werden die Elemente einer Menge innerhalb von so genannten Mengenklammern, $\{$ und $\}$, aufgezählt.
z.B.: $A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$
Darstellung im beschreibenden Verfahren
Beim beschreibenden Verfahren werden die gemeinsame Eigenschaft der Elemente beschrieben.
| aufzählendes Verfahren | Mengendiagrammm | beschreibendes Verfahren |
|---|---|---|
| M={Frühling, Sommer, Herbst, Winter} | M ist die Menge der Jahreszeiten eines Jahres. | |
| B={1,2,3,4,5} | $$B=\{x\in \mathbb{N}\vert 1\leq x\leq 5\}$$
$$\textrm{"B ist die Menge aller natürlichen Zahlen, für die gilt,}\\ \textrm{dass x größer gleich 1 und kleiner gleich 5 ist"}$$ |
Inhaltsverzeichnis
Mengenoperationen
Teilmenge und leere Menge
Teilmengen sind Mengen, die aus einem Teil aller Elemente einer anderen Menge bestehen. Formal definiert gilt:
|
Eine Menge B ist eine Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist. Formal: $B \subseteq A$
Graphik von Franz |
Gegeben ist Menge $A$ einer Spielgruppe mit $A=\{Anna, Peter, Sandra, Lukas, Julia, Andreas\}$.
Gib die Teilmenge $B$ von $A$ an, die alle weiblichen Kinder beinhaltet.
| Übung zur Definition einer Menge |
|---|
| Quelle: Michael Ruhrländer |
Eine Teilmenge jeder Menge ist die sogenannte leere Menge $\varnothing$:
|
Leere Menge $\varnothing$
Die leere Menge $\varnothing$ beinhaltet kein Element, sie ist leer. Es gilt:
|
Beispiele
Durchschnitt von Mengen - "und"-Operation
|
Der Durchschnitt zweier Mengen $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die sowohl in $A$ auch in $B$ einthalten sind |
In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$
- Bestimme die Durschnittsmenge (="Schnittmenge") von $S$ und $M$.
- Interpretiere die Durschnittsmenge.
Die Schnittmenge beinhaltet alle Elemente, die in beiden Elmenten vorhanden sind. Somit gilt: $$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$$
Interpretiere die Durschnittsmenge.
$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$ bedeutet, dass nur Julia und Peter in beiden Vereinen Mitglieder sind.
| Übung zur Definition einer Menge |
|---|
| Quelle: Michael Ruhrländer |
Vereinigung von Mengen - "oder"-Operation
|
Die Vereinigung zweier Mengen $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die
|
In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$
- Bestimme die Vereinigungsmenge von $S$ und $M$.
- Interpretiere die Vereinigungsmenge.
Die Vereinigungsmenge beinhaltet alle Elemente der beiden Mengen. Somit gilt: $$S\cup M=\{Andreas,\ Anna,\ Anton,\ Julia,\ Leo,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra,\ Sebastian,\ Simon\}$$
Interpretiere die Vereinigungsmenge.
In $S\cup M$ sind alle Personen, die im Schwimmverein oder im Musikverein oder in beiden Vereinen sind.
| Übung zur Definition einer Menge |
|---|
| Quelle: Michael Ruhrländer |
Differenzen von Mengen - "ohne"-Operation
|
Die Differenzmenge $A\setminus B$ (sprich: „A ohne B“) zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente aus A, die nicht zu B gehören. |
In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$
- Bestimme die Menge $S\setminus M$.
- Interpretiere $S\setminus M$.
Die Menge $S\setminus M$ beinhaltet alle Elemente von $S$, die nicht in $M$ enthalten sind. Somit gilt: $$S\setminus M=\{ Andreas,\ Anna,\ Lukas,\ Sandra\}$$
[[Datei:bsp-differenz.png|thumb|center|300px|In der Differenzenmenge $S\setminus M$ sind alle Elemente aus $S, die nicht in M sind.]] '''Interpretiere die Menge.''' In $S\setminus M$ sind alle Personen, die nur im Schwimmverein und im Musikverein sind.
In einem Ort gibt einen Musikverein. Die Mitglieder des Musikvereins sind in der Menge M angegeben.
UNIQc34ff5f7093f6e31-MathJax-16-QINU
Die Menge $B$ ist eine Teilmenge von $M$ und beinhaltet alle Mitglieder des Vereins, die ein Blasinstrument spielen. Es gilt
UNIQc34ff5f7093f6e31-MathJax-17-QINU
* Bestimme $\bar{B}$, die Komplementärmenge zu $B$.
* Interpretiere $\bar{B}$.
"B ist Teilmenge von A" ||
|-
| $\cap$ || Schnittmenge $A\cap B$"sowohl in A als auch in B" ||
|-
| $\cup$ || Vereinigungsmenge $A\cup B$"in A oder in B oder in beiden" ||
|-
| $\setminus$ || Differenzenmenge $A\setminus B$"A ohne B" ||
|-
| $\bar{A}$ || Komplementärmenge"alles außer A" ||
|}
| Dieses Applet gibt dir noch einmal einen graphischen Überblick der Mengenoperationen |
|---|
| Quelle: [Weindl] |
Test
| Übung zur Definition einer Menge |
|---|
| Quelle: Michael Ruhrländer |
Video
