Mengenlehre: Unterschied zwischen den Versionen
(→Aufgaben) |
|||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| − | + | = Was ist eine Menge = | |
| − | + | ||
| − | + | ||
== Was ist eine Menge == | == Was ist eine Menge == | ||
| Zeile 63: | Zeile 61: | ||
|} | |} | ||
| + | = Mengenoperationen = | ||
== Mengenoperationen == | == Mengenoperationen == | ||
=== Teilmenge und leere Menge === | === Teilmenge und leere Menge === | ||
| Zeile 108: | Zeile 107: | ||
Beispiele | Beispiele | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| Zeile 208: | Zeile 203: | ||
|2= | |2= | ||
| − | '''Bestimme die | + | '''Bestimme die Differenzenmenge $S\setminus M$''' |
Die Menge $S\setminus M$ beinhaltet alle Elemente von $S$, die nicht in $M$ enthalten sind. | Die Menge $S\setminus M$ beinhaltet alle Elemente von $S$, die nicht in $M$ enthalten sind. | ||
| Zeile 233: | Zeile 228: | ||
| − | === Überblick === | + | |
| + | |||
| + | === Komplementärmenge $\bar{A}$ - "alles außer"-Operation=== | ||
| + | Bild | ||
| + | {{Vorlage:Definition|1= Gegeben sei eine Menge $A$ und eine Teilmenge $B$, mit $B\subseteq A$. | ||
| + | |||
| + | Die '''Komplementärmenge $\bar{B}$''' beinhaltet alle Elemente, die nicht in $B$ liegen. | ||
| + | $$\bar{B}=A\setminus B$$ | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | {{Vorlage:Beispiel|1= In einem Ort gibt einen Musikverein. Die Mitglieder des Musikvereins sind in der Menge M angegeben. | ||
| + | $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ | ||
| + | Die Menge $B$ ist eine Teilmenge von $M$ und beinhaltet alle Mitglieder des Vereins, die ein Blasinstrument spielen. Es gilt | ||
| + | $$B=\{Anna,\ Lukas,\ Peter\}$$ | ||
| + | |||
| + | * Bestimme $\bar{B}$, die Komplementärmenge zu $B$. | ||
| + | * Interpretiere $\bar{B}$. | ||
| + | |||
| + | |2= | ||
| + | '''Bestimme $\bar{B}$, die Komplementärmenge zu $B$''' | ||
| + | |||
| + | Die Menge $\bar{B}$ beinhaltet alle Elemente von $M$, die nicht in $B$ enthalten sind. | ||
| + | Somit gilt: | ||
| + | $$\bar{B}=\{ Andreas,\ Julia,\ Sandra\}$$ | ||
| + | Bild | ||
| + | |||
| + | |||
| + | '''Interpretiere die Menge.''' | ||
| + | |||
| + | In $\bar{B}$ sind alle Personen des Musikvereines, die KEIN Blasinstrument. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | = Überblick und Überprüfung = | ||
| + | == Überblick == | ||
{| border=1 align=center | {| border=1 align=center | ||
! Symbol !! Bedeutung !! Grafik | ! Symbol !! Bedeutung !! Grafik | ||
| Zeile 252: | Zeile 286: | ||
https://www.geogebra.org/m/gKqgMTxx | https://www.geogebra.org/m/gKqgMTxx | ||
| − | == | + | =Video= |
| − | + | ==Video== | |
{{Vorlage:Video|UKEb8gGHrNo}} | {{Vorlage:Video|UKEb8gGHrNo}} | ||
| − | == Aufgaben== | + | = Aufgaben= |
| + | == Aufgaben == | ||
http://brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_mengen_04/p0_mengen_04.htm | http://brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_mengen_04/p0_mengen_04.htm | ||
{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://www.michael-leitgeb.at/srdp/beamer_view.php?coll=:teilb1;WhatsApp;b;B_356:teilb1;KP1_16_C9_08;c;KP_049:teilb1;KP1_16_C9_02;b;KP_043:teilb1;Lernen;c;B_256:teilb1;Wintersportwoche;a;B-C9_18:teilb1;Spracherwerb;a;B-C9_23:teilb1;Spielefest_1;d;B-C9_24:teilb1;Kindersport;b;B-C9_02:teilb1;Kindersport;a;B-C9_02:teilb1;Kinderhort;b;B-C9_09:teilb1;Blockfloete;d;B-C9_14&l=n "Aufgaben aus Teil B: BAKIP/BASOP"}} | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://www.michael-leitgeb.at/srdp/beamer_view.php?coll=:teilb1;WhatsApp;b;B_356:teilb1;KP1_16_C9_08;c;KP_049:teilb1;KP1_16_C9_02;b;KP_043:teilb1;Lernen;c;B_256:teilb1;Wintersportwoche;a;B-C9_18:teilb1;Spracherwerb;a;B-C9_23:teilb1;Spielefest_1;d;B-C9_24:teilb1;Kindersport;b;B-C9_02:teilb1;Kindersport;a;B-C9_02:teilb1;Kinderhort;b;B-C9_09:teilb1;Blockfloete;d;B-C9_14&l=n "Aufgaben aus Teil B: BAKIP/BASOP"}} | ||
Version vom 12. August 2016, 10:05 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Was ist eine Menge
|
Eine Menge $A$ ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Elementen. Die Elemente können dabei Zahlen, Objekte, Personen usw. sein.
|
In einer Spielgruppe können die Kinder in der Menge $A$ angegeben werden:
$$A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$$
Geben Sie die Mächtigkeit der Menge an.
| Übung zur Definition einer Menge |
|---|
| Quelle: Michael Ruhrländer |
Darstellung von Mengen
Mengen-/Venn-Diagramme
Um eine Menge grafisch zu veranschaulichen, verwenden wir Mengendiagramme. Diese werden auch Venn-Diagramme genannt, da die Verwendung solcher Diagramme vom britischen Mathematiker John Venn eingeführt wurde.
Bild
Gegeben ist die Menge $A$ mit
$$A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$$
Stellen Sie die Menge in einem Mengendiagramm grafisch dar.
Darstellung im aufzählenden Verfahren
Beim aufzählenden Verfahren werden die Elemente einer Menge innerhalb von so genannten Mengenklammern, $\{$ und $\}$, aufgezählt.
z.B.: $A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$
Darstellung im beschreibenden Verfahren
Beim beschreibenden Verfahren werden die gemeinsame Eigenschaft der Elemente beschrieben.
| aufzählendes Verfahren | Mengendiagrammm | beschreibendes Verfahren |
|---|---|---|
| M={Frühlich, Sommer, Herbst, Winter} | Bild | M ist die Menge der Jahreszeiten eines Jahres. |
| B={1,2,3,4,5} | Bild | $$B=\{x\in \mathbb{N}\vert 1\leq x\leq 5\}$$
$$\textrm{"B ist die Menge aller natürlichen Zahlen, für die gilt,}\\ \textrm{dass x größer gleich 1 und kleiner gleich 5 ist"}$$ |
Inhaltsverzeichnis
Mengenoperationen
Teilmenge und leere Menge
Teilmengen sind Mengen, die aus einem Teil aller Elemente einer anderen Menge bestehen. Formal definiert gilt:
|
Eine Menge B ist eine Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist. Formal: $B \subseteq A$
Graphik von Franz |
Gegeben ist Menge $A$ einer Spielgruppe mit $A=\{Anna, Peter, Sandra, Lukas, Julia, Andreas\}$.
Gib die Teilmenge $B$ von $A$ an, die alle weiblichen Kinder beinhaltet.
| Übung zur Definition einer Menge |
|---|
| Quelle: Michael Ruhrländer |
Eine Teilmenge jeder Menge ist die sogenannte leere Menge $\varnothing$:
|
Leere Menge $\varnothing$
Die leere Menge $\varnothing$ beinhaltet kein Element, sie ist leer. Es gilt:
|
Beispiele
Durchschnitt von Mengen - "und"-Operation
Bild
|
Der Durchschnitt zweier Mengen $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die sowohl in $A$ auch in $B$ einthalten sind |
In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$
- Bestimme die Durschnittsmenge (="Schnittmenge") von $S$ und $M$.
- Interpretiere die Durschnittsmenge.
Die Schnittmenge beinhaltet alle Elemente, die in beiden Elmenten vorhanden sind. Somit gilt: $$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$$
Bild
Interpretiere die Durschnittsmenge.
$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$ bedeutet, dass nur Julia und Peter in beiden Vereinen Mitglieder sind.
| Übung zur Definition einer Menge |
|---|
| Quelle: Michael Ruhrländer |
Vereinigung von Mengen - "oder"-Operation
Bild
|
Die Vereinigung zweier Mengen $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die
|
In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$
- Bestimme die Vereinigungsmenge von $S$ und $M$.
- Interpretiere die Vereinigungsmenge.
Die Vereinigungsmenge beinhaltet alle Elemente der beiden Mengen. Somit gilt: $$S\cup M=\{Andreas,\ Anna,\ Anton,\ Julia,\ Leo,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra,\ Sebastian,\ Simon\}$$
Bild
Interpretiere die Vereinigungsmenge.
In $S\cup M$ sind alle Personen, die im Schwimmverein oder im Musikverein oder in beiden Vereinen sind.
| Übung zur Definition einer Menge |
|---|
| Quelle: Michael Ruhrländer |
Differenzen von Mengen - "ohne"-Operation
Bild
|
Die Differenzmenge $A\setminus B$ (sprich: „A ohne B“) zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente aus A, die nicht zu B gehören. |
In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$
- Bestimme die Menge $S\setminus M$.
- Interpretiere $S\setminus M$.
Die Menge $S\setminus M$ beinhaltet alle Elemente von $S$, die nicht in $M$ enthalten sind. Somit gilt: $$S\setminus M=\{ Andreas,\ Anna,\ Lukas,\ Sandra\}$$
Bild
Interpretiere die Menge.
In $S\setminus M$ sind alle Personen, die nur im Schwimmverein und im Musikverein sind.
| Übung zur Definition einer Menge |
|---|
| Quelle: Michael Ruhrländer |
Komplementärmenge $\bar{A}$ - "alles außer"-Operation
Bild
|
Gegeben sei eine Menge $A$ und eine Teilmenge $B$, mit $B\subseteq A$.
Die Komplementärmenge $\bar{B}$ beinhaltet alle Elemente, die nicht in $B$ liegen. $$\bar{B}=A\setminus B$$ |
In einem Ort gibt einen Musikverein. Die Mitglieder des Musikvereins sind in der Menge M angegeben. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ Die Menge $B$ ist eine Teilmenge von $M$ und beinhaltet alle Mitglieder des Vereins, die ein Blasinstrument spielen. Es gilt $$B=\{Anna,\ Lukas,\ Peter\}$$
- Bestimme $\bar{B}$, die Komplementärmenge zu $B$.
- Interpretiere $\bar{B}$.
Die Menge $\bar{B}$ beinhaltet alle Elemente von $M$, die nicht in $B$ enthalten sind. Somit gilt: $$\bar{B}=\{ Andreas,\ Julia,\ Sandra\}$$
Bild
Interpretiere die Menge.
In $\bar{B}$ sind alle Personen des Musikvereines, die KEIN Blasinstrument.
Überblick
| Symbol | Bedeutung | Grafik |
|---|---|---|
| $\bar{A}$ | Komplementärmenge "alles außer A" |
Bild |
| $\cap$ | Schnittmenge $A\cap B$ "sowohl in A als auch in B" |
Bild |
| $\cup$ | Vereinigungsmenge $A\cup B$ "in A oder in B oder in beiden" |
Bild |
| $\setminus$ | Differenzenmenge $A\setminus B$ "A ohne B" |
Bild |
https://www.geogebra.org/m/SGrUtT4h (Vorlage von Weindl
Test
Video
