Trigonometrie: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 11. August 2016, 08:42 Uhr

In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)

Die folgende Seite ist in 5 Theorieabschnitte gegliedert, die das Lernen erleichtern sollen:

  1. Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck: Hier lernst du die Grundbegriffe und Grundrechnungen kennen.
  2. Vermessungsaufgaben, in denen du das Gelernte in Anwendungsbeispielen verwenden kannst.
  3. Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis: In diesem Abschnitt lernst du das Bogenmaß und den Einheitskreis kennen.
  4. Trigonometrische Funktionen: Hier lernst du die typischen Graphen der Sinus-, Cosinus und Tangensfunktion kennen.
  5. Das allgemeine Dreieck, indem du lernst, in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, mit dem Sinus- und dem Cosinussatz zu rechnen.

Die letzten beiden Kapitel bestehen aus einer Zusammenfassung der hier verwendeten Formeln und Matura-Aufgaben.

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Begriffe

rechtwinkliges Dreieck

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (= Dreieck mit einem 90°-Winkel).

  • Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heißt Hypotenuse. Sie ist IMMER gegenüber vom rechten Winkel.
  • Die beiden kürzere Seiten heißen Katheten. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
* die Gegenkathete GK liegt $\beta$ gegenüber
* die Ankathete AK liegt an $\beta$ an.












Sinus, Cosinus und Tangens

Definition
Grün rufezeichen.png
  • Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H

$\ \ \ \mathbf{sin\ \alpha = \frac{GK}{H}}$

  • Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H

$\ \ \ \mathbf{cos\ \alpha = \frac{AK}{H}}$

  • Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK

$\ \ \ \mathbf{tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}}$


$Aha!$ Das Besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in

diesem Arbeitsblatt überprüfen.



Wichtig: Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im rechtwinkligen Dreieck!




Steigung und Steigungswinkel

Steigung und Steigungswinkel

Aus dem Kapitel Lineare Funktionen wissen wir bereits, dass die Steigung $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:

$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$ Somit erhalten wir die Formel:

$$k=\tan \alpha$$

Mit dieser Formel kann nun einfach zwischen der (prozentuellen) Steigung und dem Steigungswinkel gewechselt werden:




Musterbeispiel

Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.

- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.

- Bestimmen Sie

  • a) den Steigungswinkel
  • b) die prozentuelle Steigung


Lösung

Skizze der Rampe

a) Berechnung des Steigungswinkels:

$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ | im TR: $sin^{-1}$

$\alpha = 8.05°$


b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen: $$k=\ tan\ \alpha$$ $$k=\tan \ 8.05°$$ $$k=0.14=14 \ \%$$ A: Die Steigung beträgt 14 %.






Übungen im Rechtwinkligen Dreieck



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Vermessungsaufgaben

Begriffe

Höhen- und Tiefenwinkel.gif
  • Höhenwinkel

Der Höhenwinkel ist der Winkel zwischen der Horizontalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Höhe".


  • Tiefenwinkel

Der Tiefenwinkel ist der Winkel zwischen der Horizontalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Tiefe".


  • Sehwinkel

Der Sehwinkel ist das Objekt (in der rechten Abbildung die senkrechte Strecke) "einfängt".




Beispiele




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Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis

Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis

Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius r=1. Sein Umfang beträgt $$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$

Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:


1) Gradmaß (abgekürzt mit °)

So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.

  • Eine volle Umdrehung hat 360°
  • Eine halbe Umdrehung hat 180°



2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)

Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens r (siehe Skizze) bestimmt werden.

  • Bei einer vollen Umdrehung hat r die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises, siehe oben). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
  • Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.


$Aha!$ : Hier findest du ein Arbeitsblatt, das dir den Zusammenhang besser erklärt.



Merke
Rotes rufezeichen.png
Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$

$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$ Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.


Musterbeispiel

a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.

b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.


Lösung


a) Grad- in Bogenmaß: $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$ $$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$ $$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$

A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$

b) Bogen- in Gradmaß: $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$ $$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$ $$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$

A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°




Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis

Theorie

Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:

Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis


  • Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.
  • Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.


Begründung:

für den Sinus: Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die Länge der $\color{red}{\textrm{roten Strecke}}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete GK.

Zu zeigen ist nun: $$\sin \ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$


Beweis: $$\sin\ \alpha=\frac{GK}{H}=\frac{\color{red}{\textrm{rote Strecke}}}{1}=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$ Somit gilt: $$\sin\ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$


Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.



$Aha!$ : Mit dem folgenden Arbeitsblatt kannst du dein Verständnis vertiefen.




Wichtige Werte

Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das obige Arbeitsblatt sollte dir dabei helfen:

Sinus Cosinus Tangens
Gradmaß: 90°

Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad

1 0 nicht definiert
180°

$\pi$ rad

0 -1 0
270°

$\frac{3\pi}{2}$ rad

-1 0 nicht definiert
0° und 360°

0 rad und $2\pi$ rad

0 1 0



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Trigonometrische Funktionen

$Aha!$ : Öffne das folgende Arbeitsblatt. Hier findest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die unten abgebildten Graphen der Sinus-, Cosius und Tangensfunktion kommt.



Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$

Stellt man den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:

Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$





Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$

Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:

Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$




Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$

Der Graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:

Graph der Tangensfunktion samt den asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$



Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen

  1. Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
  2. Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die Wertemenge $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der Betrag verwendet.)
  3. Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
  4. Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der Tabelle zum Einheitskreis herausgelesen werden.



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Das allgemeine Dreieck - Sinussatz und Cosinussatz

Wichtig: Der folgende Abschnitt ist für die schriftliche Matura nur in folgenden Schulzeweigen relevant:

Allerdings helfen dir die hier beschriebenen Formeln, gewisse Beispiele schneller und einfacher zu berechnen. Daneben könnte dieser Abschnitt auch bei der mündlichen Matura zum Stoffgebiet gehören (Informationen dazu gibt dir deine Lehrperson)


allgemeines Dreieck


Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.

Ohne rechten Winkel können wir die Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein:

a) den Sinussatz

b) den Cosinussatz und

c) die allgemeinen Flächenformeln


Im allgemeinen Dreieck braucht man immer 3 bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechten Winkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).






Sinussatz

Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck

1. eine Seite und

2. der gegenüberliegende Winkel und

3. irgend eine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.


Formel für den Sinussatz
$$\frac{\sin\ \alpha}{a}=\frac{\sin\ \beta}{b}=\frac{\sin\ \gamma}{c}$$


Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleitung des Sinussatzes:





Cosinussatz


Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleitung und die Bedeutung des Cosinussatzes:

Formeln für den Cosinussatz
  • $ a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\ \alpha$
  • $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\ \beta$
  • $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\ \gamma$


Der Cosinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck:

a) 2 Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben ist oder
b) alle drei Seiten gegeben sind und ein Winkel berechnet werden will.
Voraussetzungen, um den Cosinussatz zu verwenden.
gegebene Größen
berechenbare Größen
Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben, die gegenüberliegende Seite kann berechnet werden
Drei Seiten sind gegeben, ein Winkel kann berechnet werden





Beispiele




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Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck

rechtwinkliges Dreieck allgemeines Dreieck
Winkelsumme $180°=\alpha+\beta+\gamma$ $180°=\alpha+\beta+\gamma$
Pythagoras $H^2=GK^2+AK^2$ gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
Flächeninhalt $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$ $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
Sinussatz $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
Cosinussatz $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$


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Matura-Aufgaben

Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!
Siehe auch Formeln aufstellen
Siehe auch Lineare Funktionen
Siehe auch: Logarithmus
Siehe auch
* Beschreibende Statistik
* Exponentielle Abnahme
Achtung! Aufgabe b lernst du erst in der 5. Klasse
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