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| − | In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)
| + | #WEITERLEITUNG[[Trigonometrie]] |
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| − | == Das rechtwinklige Dreieck ==
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| − | === Begriffe ===
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| − | [[Datei:RechtwDreieck.png|thumb|right|400px|rechtwinkliges Dreieck]]
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| − | Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (Dreieck mit einem 90°-Winkel), bestehend aus der '''Hypotenuse''' (=längste Seite des rechtw. Dreiecks) und den beiden '''Katheten'''. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
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| − | * die <span style="background-color:#FF6347"> Gegenkathete GK </span> liegt $\beta$ gegenüber
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| − | * die <span style="background-color:#6495ED"> Ankathete AK </span> liegt an $\beta$ an.
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| − | === Sinus, Cosinus und Tangens ===
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| − | {| border ="1"
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| − | | '''Definition'''
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| − | |<p style="background-color:#E0E0E0">
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| − | |* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H
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| − | |$sin\ \alpha = \frac{GK}{H}$
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| − | |-
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| − | |* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H
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| − | |$cos\ \alpha = \frac{AK}{H}$
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| − | |-
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| − | |* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK
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| − | |$tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}$
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| − | </p>
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| − | Das besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
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| − | :[http://www.geogebratube.org/student/m133029 diesem Arbeitsblatt überprüfen].
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| − | '''Wichtig!'''
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| − | Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''!
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| − | Hier noch Aufgaben
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| − | === Steigung und Steigungswinkel ===
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| − | [[Datei:Steigung.png|thumb|right|400px|Steigung und Steigungswinkel]]
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| − | Aus dem Kapitel [[Lineare Funktionen]] wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:
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| − | $$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$
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| − | Somit erhalten wir die Formel:
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| − | {| border="1" align="center"
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| − | | $$k=\tan \alpha$$
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> Musterbeispiel </span>
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| − | <div class="mw-collapsible-content"> Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.
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| − | - Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.
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| − | - Bestimmen Sie
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| − | * a) den Steigungswinkel
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| − | * b) die prozentuelle Steigung
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> Lösung </span>
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| − | <div class="mw-collapsible-content">
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| − | [[Datei:Steigungsbsp.png|thumb|right|400px|Skizze der Rampe]]
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| − | a) Berechnung des Steigungswinkels:
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| − | $\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ |[[Arkusfunktionen | im TR: $sin^{-1}$]]
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| − | $\alpha = 8.05°$
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| − | b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen:
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| − | $$k=\ tan\ \alpha$$
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| − | $$k=\tan \ 8.05°$$
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| − | $$k=0.14=14 \ \%$$
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| − | A: Die Steigung beträgt 14 %.
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| − | </div>
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| − | </div>
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| − | === Gradmaß und Bogenmaß ===
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| − | === Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===
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| − | === Sinusfunktion, Cosinusfunktion, Tangensfunktion ===
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| − | === Weitere wichtige Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck ===
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| − | [[Datei:AllgDreieck.png|thumb|right|400px|allgemeines Dreieck]]
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| − | {| border="1" align="center"
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| − | |-
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| − | | rechtwinkliges Dreieck
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| − | | allgemeines Dreieck
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| − | | Winkelsumme
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| − | | $180°=\alpha+\beta+\gamma$
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| − | | $180°=\alpha+\beta+\gamma$
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| − | | Pythagoras
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| − | | $H^2=GK^2+AK^2$
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| − | | gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
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| − | | Flächeninhalt
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| − | | $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$
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| − | | $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
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| − | | [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Sinussatz]]
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| − | | $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
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| − | | [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Cosinussatz]]
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| − | | $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
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| − | $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$
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| − | $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$
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| − | == Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck ==
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| − | == Beispiele ==
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| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=216&file=Leuchturm.pdf Leuchtturm] (bifie-Aufgabe)
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| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=3&file=Standseilbahn.pdf Standseilbahn] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
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| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=82&file=Glaspyramide_des_Louvre.pdf Glaspyramiede des Louvre] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
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| − | : Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!
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| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=150&file=Hochwasserschutz.pdf Hochwasserschutz] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
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| − | : Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]
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| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)
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| − | | + | |
| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)
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| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=20&file=Wetterballon.pdf Wetterballon] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
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| − | : Siehe auch [[Lineare Funktionen]]
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| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
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| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=120&file=Die_Sonne.pdf Die Sonne] (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
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| − | : Siehe auch: [[Der Logarithmus | Logarithmus]]
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| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
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| − | : Siehe auch
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| − | : * [[Beschreibende Statistik]]
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| − | : * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Exponentielle Abnahme]]
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| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)
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| − | * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=186&file=Zimmerei.pdf Zimmerei] (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
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| − | : '''Achtung!''' Aufgabe b lernst du erst [[Wahrscheinlichkeitsrechnung | in der 5. Klasse]]
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