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| − | | + | #WEITERLEITUNG [[Zahlenmengen]] |
| − | = Theorie =
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| − | [[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]] | + | |
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| − | Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?
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| − | Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.
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| − | *Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
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| − | *Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
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| − | == die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
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| − | Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....}
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| − | Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.
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| − | '''Beispiel'''
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| − | $$ 7+15=22 $$
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| − | Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
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| − | == die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
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| − | Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.
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| − | Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.
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| − | Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.
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| − | '''Beispiele'''
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| − | $$ -3+7=4$$
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| − | oder
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| − | $$ -8-17=-25$$
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| − | Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
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| − | Beispiel:
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| − | $$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
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| − | und $ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.
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| − | Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
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| − | == die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
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| − | Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
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| − | $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$
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| − | Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''
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| − | Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
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| − | oder
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| − | $$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$
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| − | Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
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| − | == die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
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| − | Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind
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| − | Beispiele sind
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| − | * $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
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| − | * $\pi =3.14159.... $
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| − | * $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
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| − | * $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].
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| − | == die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
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| − | Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
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| − | # endlichen oder unendlich periodischen und die
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| − | # unendlichen aber niemals periodischen
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| − | so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{I}$
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| − | $$ $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
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| − | Vereinfacht gesagt: $\mathbb{R}=$ alle Dezimalzahlen.
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| − | == die imaginären Zahlen ==
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| − | <span style="background-color:yellow"> Stoff der 2. Klasse </span>
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| − | Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.
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| − | '''Beispiel'''
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| − | $$ \sqrt{-1} $$
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| − | Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit den allen negativen Wurzeln und nennt
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| − | $$ \textnormal{die Menge der negativen Wurzeln} = \textnormal{die imaginären Zahlen} $$
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| − | '''
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| − | Weitere Beispiele'''
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| − | * $$ \sqrt{-1}=i$$
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| − | * $ \sqrt{-4}=4i$ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $
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| − | Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
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| − | == die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==
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| − | Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.
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| − | $$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$
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| − | = Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =
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